(1.5) Enuncie o mais precisamente possível os Teoremas de Stokes e de Gauss no plano. Cite uma aplicação Física para cada um desses Teoremas dando significado às variáveis, domínios, etc.
“Boa Prova”

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Enunciar, com precisão, o Teorema de Stokes no plano e o Teorema de Gauss no plano — isto é, escrever as hipóteses (que tipo de domínio, que regularidade nas funções, orientação da fronteira, etc.) e a identidade integral exata de cada teorema.
  2. Para cada teorema, dar uma aplicação física explicando o significado das variáveis e dos domínios usados na aplicação.
Informações relevantes que devo usar para responder:
  • Devo indicar o tipo de domínio D\subset\mathbb{R}^2 (por exemplo: limitado, com fronteira peça‑a‑peça suave, possivelmente com buracos) e a orientação positiva da fronteira \partial D (sentido anti‑horário).
  • Devo explicitar as hipóteses sobre os campos vetoriais (componentes com derivadas parciais contínuas numa vizinhança de \overline{D}).
  • Devo escrever as fórmulas integrais com notação precisa e explicar o papel do divergente e do rotacional (no plano).
  • Na parte física, devo dizer claramente o que representam \mathbf{F}, D, \partial D, \nabla\cdot\mathbf{F}, \operatorname{curl}\mathbf{F}, etc., e dar um exemplo numérico simples que mostre a identidade.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explicadas devagar, passo a passo):
  • Seja D\subset\mathbb{R}^2 um domínio limitado cuja fronteira \partial D é um conjunto fechado formado por um número finito de curvas peça‑a‑peça suaves (padrão em enunciados de teoremas do cálculo vetorial). A orientação positiva de \partial D é o sentido anti‑horário.
  • Seja \mathbf{F}=(P,Q) um campo vetorial definido em uma vizinhança aberta que contém \overline{D}. As hipóteses típicas do teorema exigem P,Q\in C^1(\Omega) onde \Omega é essa vizinhança (isto é, P e Q têm derivadas parciais contínuas).
  • Definição de divergente (div): para \mathbf{F}=(P,Q),
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}.
Isto mede a taxa de “criação” local de fluxo por unidade de área (fontes ou sumidouros).
  • Definição de rotacional (no eixo z, escala escalar no plano): para \mathbf{F}=(P,Q),
\operatorname{curl}_z\mathbf{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Isto mede a tendência local à rotação (vorticidade) do campo no plano.
  • Linha integral ao longo da fronteira: se \partial D é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], com orientação anti‑horária, então
\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\int_a^b\bigl(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr)\,dt.
  • Integral de fluxo (fluxo normal) pela fronteira: com a mesma parametrização anti‑horária, a quantidade \mathbf{n}\,ds (vetor normal externo vezes comprimento) satisfaz
\mathbf{n}\,ds=(dy,-dx),
logo o fluxo é
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\oint_{\partial D}P\,dy-Q\,dx.
(Na prática é comum usar a relação acima para transformar entre integrais de linha e integrais de fluxo.)

Passo 3

Enunciado preciso do Teorema de Stokes no plano (também conhecido como Teorema de Green na forma circulação–rotacional):
Hipóteses:
  • D\subset\mathbb{R}^2 é um domínio limitado cuja fronteira \partial D consiste em um número finito de curvas peça‑a‑peça suaves; a orientação de cada componente da fronteira é positiva (anti‑horária para a fronteira externa; para contornos internos — buracos — a orientação positiva da região global implica orientação horário nesses contornos internos).
  • P,Q\in C^1(\Omega) para alguma vizinhança aberta \Omega de \overline{D}.
Conclusão (fórmula):
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretação prática:
  • O lado esquerdo é a circulação do campo \mathbf{F}=(P,Q) ao longo da fronteira orientada positivamente.
  • O lado direito é a integral da vorticidade (rotacional escalar) sobre a área D.
Observação sobre domínios com vários contornos: a igualdade vale somando a integral de linha sobre todas as componentes de \partial D e integrando a mesma função de rotacional sobre toda a região D.

Passo 4

Como usar o Teorema de Stokes na prática (receita para a prova, passo a passo):
  1. Verifique as hipóteses: o domínio é adequado e P,Q têm derivadas parciais contínuas.
  2. Se pedirem a circulação \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy, muitas vezes é mais fácil calcular \iint_{D}(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\,dA.
  3. Calcule as derivadas parciais \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y, forme a função \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y.
  4. Parametrizar e integrar em coordenadas cartesianas ou polares conforme o domínio D.
    Exemplo ilustrativo (curto, para fixar a ideia): campo de rotação rígida \mathbf{v}=(-\Omega y,\Omega x) com \Omega constante. Então
\operatorname{curl}_z\mathbf{v}=\frac{\partial}{\partial x}(\Omega x)-\frac{\partial}{\partial y}(-\Omega y)=\Omega+\Omega=2\Omega.
Se D é um disco de raio R, a circulação pela fronteira vale
\oint_{\partial D}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{D}2\Omega\,dA=2\Omega\cdot\pi R^{2}.
Na fronteira a velocidade tangencial média é \Omega R, o comprimento é 2\pi R, então a circulação também é 2\pi R\cdot \Omega R=2\pi\Omega R^{2}, conferindo o teorema.

Passo 5

Enunciado preciso do Teorema de Gauss no plano (teorema da divergência bidimensional):
Hipóteses:
  • Mesmas hipóteses de regularidade sobre D e \mathbf{F}=(P,Q): D\subset\mathbb{R}^2 limitado com fronteira peça‑a‑peça suave e P,Q\in C^1(\Omega) numa vizinhança de \overline{D}.
Conclusão (fórmula):
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}\biggl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\biggr)\,dA.
Forma equivalente em termos de diferenciais (usada com frequência):
\oint_{\partial D}P\,dy - Q\,dx = \iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA,
onde se usou a identidade \mathbf{n}\,ds=(dy,-dx) para a parametrização anti‑horária da fronteira.
Interpretação:
  • O lado esquerdo é o fluxo total do campo \mathbf{F} saindo de D (fluxo externo).
  • O lado direito é a integral do divergente (taxa local de geração de fluxo) sobre a área — então a soma de todas as fontes internas.

Passo 6

Como usar o Teorema de Gauss na prova (receita prática):
  1. Verifique hipóteses de regularidade.
  2. Se pedirem o fluxo total através de \partial D, calcule \nabla\cdot\mathbf{F} e integre sobre D; muitas vezes é mais simples que parametrizar a fronteira.
  3. Exemplos rápidos para fixar: campo radial \mathbf{F}=k(x,y) (isto é, \mathbf{F}=k r\hat{r}):
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(kx)+\frac{\partial}{\partial y}(ky)=2k.
Se D é o disco de raio R,
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}2k\,dA=2k\pi R^{2}.
Na fronteira, \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=kR e ds=R\,d\theta, então integrando \int_0^{2\pi}kR\cdot R\,d\theta=2\pi k R^{2}, concordando com o teorema.

Passo 7

Observações práticas e dicas de prova (coisas que costumam cair em avaliações):
  • Atenção à orientação: para o Teorema de Stokes (circulação), a fronteira externa é tomada anti‑horária; para buracos internos, a orientação relativa é contrária (isso garante que a soma das contribuições se comporte corretamente). Para Gauss, usar a mesma orientação anti‑horária e lembrar a identidade \mathbf{n}\,ds=(dy,-dx).
  • Se \nabla\cdot\mathbf{F}=0 então o fluxo líquido através de qualquer fronteira fechada é zero — isto é a expressão local da conservação (por exemplo, fluido incompressível).
  • Se \operatorname{curl}_z\mathbf{F}=0 numa região simplesmente conectada, então a circulação ao longo de qualquer curva fechada é zero — isto está ligado à existência de funções potenciais.

Resposta

Teorema de Stokes (no plano / Teorema de Green — circulação ↔ rotacional):
\text{Se }D\subset\mathbb{R}^2\text{ é limitado com }\partial D\text{ peça‑a‑peça suave e }P,Q\in C^1(\Omega)\text{ em uma vizinhança de }\overline{D},éççç
\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)\,dA.
Aplicação física (fluido plano — circulação e vorticidade): para um campo de velocidade \mathbf{v}=(u,v) da placa de fluido em D, a circulação total ao redor de \partial D é igual à integral da vorticidade \omega=\partial v/\partial x-\partial u/\partial y sobre D:
\oint_{\partial D}u\,dx+v\,dy=\iint_{D}\omega\,dA.
Teorema de Gauss (no plano / Teorema da divergência bidimensional — fluxo ↔ divergente):
\text{Se }D\subset\mathbb{R}^2\text{ é limitado com }\partial D\text{ peça‑a‑peça suave e }P,Q\in C^1(\Omega)\text{ em uma vizinhança de }\overline{D},éççç
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}\biggl(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\biggr)\,dA,
com \mathbf{F}=(P,Q). Equivalentemente,
\oint_{\partial D}P\,dy-Q\,dx=\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA.
Aplicação física (fontes e conservação em fluxo bidimensional): se \mathbf{F} é o campo de fluxo de um fluido, então \nabla\cdot\mathbf{F} é a taxa de criação de fluido por unidade de área (fonte positiva, sumidouro negativa) e o fluxo líquido através da fronteira é a soma das fontes internas:
\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}\text{(densidade de fonte)}\,dA.

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