(2.0) Considere o campo vetorial \mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \vec{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \vec{j}.
a) Verifique e justifique se \mathbf{F} é um campo conservativo.
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial \mathbf{F} para mover uma partícula ao longo da curva \gamma_{1}: y=4-x^{2} de (2,0) até (0,4).
c) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial \mathbf{F} para mover uma partícula ao longo da curva \gamma_{2}: y=4-2 x de (2,0) até (0,4).
d) Existe outra maneira para efetuar os cálculos realizados em b) e em c)? Justique e utilize essa outra maneira em um desses casos (b) ou c)).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=(3+2xy)\,\vec{i}+(x^{2}-3y^{2})\,\vec{j} e pede quatro coisas:
  1. (a) Verificar e justificar se \mathbf{F} é um campo conservativo.
  2. (b) Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma_{1}\!: y=4-x^{2} do ponto (2,0) até (0,4).
  3. (c) Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover a partícula ao longo da curva \gamma_{2}\!: y=4-2x do ponto (2,0) até (0,4).
  4. (d) Dizer se existe outra maneira de efetuar os cálculos de (b) e (c), justificar e usar essa outra maneira em um dos casos.
Informações relevantes dadas:
  • A componente P(x,y) do campo é P(x,y)=3+2xy.
  • A componente Q(x,y) do campo é Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}.
  • Os pontos inicial e final são (2,0) e (0,4).
  • As curvas \gamma_{1} e \gamma_{2} ligam os mesmos pontos; são caminhos diferentes entre os mesmos extremos.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” e como verificar na prática (passo-a-passo):
  • Definição prática: em duas variáveis, um campo \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo num domínio se existe uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}, isto é, \frac{\partial f}{\partial x}=P e \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
  • Teste prático (condição necessária em domínios razoáveis): calcular as derivadas mistas \frac{\partial P}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial Q}{\partial x}e verificar se são iguais. Se o domínio for simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), essa igualdade é também suficiente para garantir que existe f.
    Agora aplico esse teste ao campo dado:
  • Calculo \frac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=3+2xy, \frac{\partial P}{\partial y}=2x.
  • Calculo \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}, \frac{\partial Q}{\partial x}=2x.
  • Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x para todo (x,y) e o domínio natural aqui é todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), concluímos que \mathbf{F} é de fato conservativo.

Passo 3

Encontrar a função potencial f(x,y) passo a passo (muito útil na prova):
  • Se \nabla f=\mathbf{F}, então \frac{\partial f}{\partial x}=P=3+2xy. Integro em relação a x, tratando y como constante: f(x,y)=\int (3+2xy)\,dx = 3x + x^{2}y + g(y),onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora uso a outra condição \frac{\partial f}{\partial y}=Q. Primeiro calculo \frac{\partial f}{\partial y} a partir da expressão acima: \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} + g'(y).Isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}-3y^{2}. Assim x^{2} + g'(y) = x^{2} - 3y^{2} \quad\Rightarrow\quad g'(y) = -3y^{2}.
  • Integro g'(y) em função de y: g(y) = \int -3y^{2}\,dy = -y^{3} + C,onde C é constante real irrelevante para diferenças de potencial.
  • Logo uma função potencial é f(x,y)=3x + x^{2}y - y^{3} + C.(Na prática da prova podemos tomar C=0.)
Observação didática: em provas, depois de achar f, calcular trabalho vira só computar f(\text{ponto final})-f(\text{ponto inicial}). Isso economiza tempo.

Passo 4

Calcular o trabalho pedido em (b) usando a função potencial (método rápido):
  • Fórmula para campo conservativo: o trabalho ao longo de qualquer curva que vai de A a B é W = f(B)-f(A).
  • Aqui A=(2,0) e B=(0,4). Usando f(x,y)=3x+x^{2}y-y^{3} (tomando C=0): f(0,4)=3\cdot 0 + 0^{2}\cdot 4 - 4^{3} = -64,
f(2,0)=3\cdot 2 + 2^{2}\cdot 0 - 0^{3} = 6.
  • Portanto o trabalho ao longo de \gamma_{1} (qualquer curva entre os pontos, inclusive a dada) é W = f(0,4)-f(2,0) = -64 - 6 = -70.

Passo 5

Explicar a outra maneira (método direto) e a fórmula a usar para integrais de linha:
  • Outra maneira: parametrizar a curva \gamma por (x(t),y(t)), t\in[a,b], e calcular a integral W=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\bigr)\,dt.
  • Justificativa de quando usar cada método: se o campo é conservativo, usar a função potencial é quase sempre mais rápido porque evita integrais complicadas. O método direto é obrigatório quando o campo não é conservativo ou quando o problema pede explicitamente a integral paramétrica; também é útil como verificação num caso simples.

Passo 6

Aplicar a outra maneira (método direto) para o caso (c) — cálculo completo e passo a passo:
  • Curva \gamma_{2} é a reta y=4-2x de (2,0) até (0,4). Uma parametrização simples é tomar x(t)=t, y(t)=4-2t com t variando de 2 até 0 (assim t=2 (2,0) e t=0 (0,4)). Então x'(t)=1, y'(t)=-2.
  • Substituo em P e Q: P(x(t),y(t))=3+2x y = 3+2t(4-2t)=3+8t-4t^{2},
Q(x(t),y(t))=x^{2}-3y^{2}=t^{2}-3(4-2t)^{2}.
Calculo explícito de Q:
(4-2t)^{2}=16-16t+4t^{2}\quad\Rightarrow\quad Q=t^{2}-3(16-16t+4t^{2})=t^{2}-48+48t-12t^{2}=-11t^{2}+48t-48.
  • Agora o integrando P x' + Q y' é P\cdot 1 + Q\cdot(-2) = (3+8t-4t^{2}) + (-2)(-11t^{2}+48t-48).Faço as contas: (-2)(-11t^{2}+48t-48)=22t^{2}-96t+96,então o integrando é 3+8t-4t^{2} +22t^{2}-96t+96 = 18t^{2}-88t+99.
  • Integro de t=2 até t=0: W=\int_{2}^{0}(18t^{2}-88t+99)\,dt.Calculo primitiva: \int (18t^{2}-88t+99)\,dt = 6t^{3}-44t^{2}+99t.
    Avaliando nos limites: W=\bigl[6t^{3}-44t^{2}+99t\bigr]_{2}^{0} = (0) - \bigl(6\cdot 8 -44\cdot 4 +99\cdot 2\bigr).Calculo dentro do parêntese: 6\cdot 8 =48,\quad 44\cdot 4=176,\quad 99\cdot 2=198,
48 -176 +198 =70.
Portanto W = 0 - 70 = -70.
  • Conclusão: o método direto (parametrização e integral) dá também W=-70, confirmando o resultado obtido com a função potencial.

Passo 7

Discussão final e incentivo:
  • Resultado intuitivo e importante para a prova: sendo o campo conservativo, o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos e não do caminho; por isso tanto \gamma_{1} quanto \gamma_{2} deram o mesmo valor -70.
  • Você pode usar sempre a função potencial quando detectar a igualdade das derivadas mistas numa região simplesmente conexa — isso economiza MUITO tempo na prova. Se o enunciado der a curva explicitamente e pedir pra parametrizar, então faça a parametrização (método direto) — é um bom exercício para checar.

Resposta

(a) Sim — \mathbf{F} é conservativo, pois \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x em \mathbb{R}^{2}.
(b) W=-70.
(c) W=-70.
(d) Sim — outra maneira é parametrizar a curva e calcular diretamente \displaystyle W=\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy; isso foi usado no item (c) e dá W=-70.

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