(2.0) Considere o campo vetorial
.
a) Verifique e justifique se
é um campo conservativo.
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula ao longo da curva
de
até
.
c) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula ao longo da curva
de
até
.
d) Existe outra maneira para efetuar os cálculos realizados em b) e em c)? Justique e utilize essa outra maneira em um desses casos (b) ou c)).
a) Verifique e justifique se
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
c) Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
d) Existe outra maneira para efetuar os cálculos realizados em b) e em c)? Justique e utilize essa outra maneira em um desses casos (b) ou c)).
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede quatro coisas:
- (a) Verificar e justificar se
é um campo conservativo. - (b) Calcular o trabalho realizado por
ao mover uma partícula ao longo da curva do ponto até . - (c) Calcular o trabalho realizado por
ao mover a partícula ao longo da curva do ponto até . - (d) Dizer se existe outra maneira de efetuar os cálculos de (b) e (c), justificar e usar essa outra maneira em um dos casos.
Informações relevantes dadas:
- A componente
do campo é . - A componente
do campo é . - Os pontos inicial e final são
e . - As curvas
e ligam os mesmos pontos; são caminhos diferentes entre os mesmos extremos.
Passo 2
O que significa “campo conservativo” e como verificar na prática (passo-a-passo):
- Definição prática: em duas variáveis, um campo
é conservativo num domínio se existe uma função potencial tal que , isto é, e . - Teste prático (condição necessária em domínios razoáveis): calcular as derivadas mistas
e verificar se são iguais. Se o domínio for simplesmente conexo (como ), essa igualdade é também suficiente para garantir que existe .
Agora aplico esse teste ao campo dado: - Calculo
. Como , - Calculo
. Como , - Como
para todo e o domínio natural aqui é todo (que é simplesmente conexo), concluímos que é de fato conservativo.
Passo 3
Encontrar a função potencial
passo a passo (muito útil na prova):
- Se
, então . Integro em relação a , tratando como constante: onde é uma “constante” de integração que pode depender de . - Agora uso a outra condição
. Primeiro calculo a partir da expressão acima: Isso deve ser igual a . Assim - Integro
em função de : onde é constante real irrelevante para diferenças de potencial. - Logo uma função potencial é
(Na prática da prova podemos tomar .)
Observação didática: em provas, depois de achar
, calcular trabalho vira só computar
. Isso economiza tempo.
Passo 4
Calcular o trabalho pedido em (b) usando a função potencial (método rápido):
- Fórmula para campo conservativo: o trabalho ao longo de qualquer curva que vai de
a é - Aqui
e . Usando (tomando ):
- Portanto o trabalho ao longo de
(qualquer curva entre os pontos, inclusive a dada) é
Passo 5
Explicar a outra maneira (método direto) e a fórmula a usar para integrais de linha:
- Outra maneira: parametrizar a curva
por , , e calcular a integral - Justificativa de quando usar cada método: se o campo é conservativo, usar a função potencial é quase sempre mais rápido porque evita integrais complicadas. O método direto é obrigatório quando o campo não é conservativo ou quando o problema pede explicitamente a integral paramétrica; também é útil como verificação num caso simples.
Passo 6
Aplicar a outra maneira (método direto) para o caso (c) — cálculo completo e passo a passo:
- Curva
é a reta de até . Uma parametrização simples é tomar , com variando de até (assim dá e dá ). Então , . - Substituo em
e :
Calculo explícito de
:
- Agora o integrando
é Faço as contas: então o integrando é - Integro de
até : Calculo primitiva: .
Avaliando nos limites:Calculo dentro do parêntese:
Portanto
.
- Conclusão: o método direto (parametrização e integral) dá também
, confirmando o resultado obtido com a função potencial.
Passo 7
Discussão final e incentivo:
- Resultado intuitivo e importante para a prova: sendo o campo conservativo, o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos e não do caminho; por isso tanto
quanto deram o mesmo valor . - Você pode usar sempre a função potencial quando detectar a igualdade das derivadas mistas numa região simplesmente conexa — isso economiza MUITO tempo na prova. Se o enunciado der a curva explicitamente e pedir pra parametrizar, então faça a parametrização (método direto) — é um bom exercício para checar.
Resposta
(a) Sim —
é conservativo, pois
em
.
(b) .
(c) .
(d) Sim — outra maneira é parametrizar a curva e calcular diretamente ; isso foi usado no item (c) e dá
.
(b)
(c)
(d) Sim — outra maneira é parametrizar a curva e calcular diretamente