Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
z=3 cos (x y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função z=3 cos(x y²). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para obter ∂z/∂x, tratamos y como constante. Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de cos(u) é -sin(u)·u’. Aqui u=x y² então u’=∂(x y²)/∂x=y². Assim temos ∂z/∂x=3·[−sin(x y²)]·y².

Passo 3

Para obter ∂z/∂y, tratamos x como constante. De novo usamos a regra da cadeia: u=x y² então u’=∂(x y²)/∂y=2x y. Logo ∂z/∂y=3·[−sin(x y²)]·2x y.

Resposta

As derivadas parciais são: ∂z/∂x = −3 y² sin(x y²) e ∂z/∂y = −6 x y sin(x y²).

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