Exercício 3 Determine c,
que satisfazem as seguintes equações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de $ c $ e $ L $ que satisfazem a seguinte equação de limite:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e encontrar os valores que tornam o limite bem definido.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do denominador quando $ x $ se aproxima de 1:
O denominador tende a zero. Para que o limite exista e seja um número real, o numerador também precisa tender a zero nesse ponto. Vamos calcular o numerador quando $ x = 1 $:
Para que o numerador seja zero:
Passo 3
Agora que sabemos que $ c = 1 $, vamos reescrever a expressão original substituindo $ c $:
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador $ x^{3} - x^{2} - x + 1 $:
Agora, fatorando $ x^{2} - 1 $:
Então, o numerador fica:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Agora, o limite simplifica para:
Passo 6
Calculando o limite final:
Portanto, $ L = 0 $.
Resposta
Os valores que satisfazem a equação são $ c = 1 $ e $ L = 0 $.