Exercício 3 Determine c, L in R que satisfazem as seguintes equações.
lim x 1 x^3-x^2-x+cx^2-1=L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de $ c $ e $ L $ que satisfazem a seguinte equação de limite:
c
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e encontrar os valores que tornam o limite bem definido.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do denominador quando $ x $ se aproxima de 1:
x
O denominador tende a zero. Para que o limite exista e seja um número real, o numerador também precisa tender a zero nesse ponto. Vamos calcular o numerador quando $ x = 1 $:
limx to 1 (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0
Para que o numerador seja zero:
x = 1

Passo 3

Agora que sabemos que $ c = 1 $, vamos reescrever a expressão original substituindo $ c $:
c = 1
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador $ x^{3} - x^{2} - x + 1 $:
x^3 - x^2 - x + 1
Agora, fatorando $ x^{2} - 1 $:
x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) -1(x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1)
Então, o numerador fica:
x^2 - 1

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
(x - 1)^2(x + 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2(x - 1) = x - 1
Agora, o limite simplifica para:
limx to 1 (x - 1)

Passo 6

Calculando o limite final:
limx to 1 (x - 1) = 1 - 1 = 0
Portanto, $ L = 0 $.

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são $ c = 1 $ e $ L = 0 $.

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