Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=(2 x+3 y)^{10};

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y) = (2x + 3y)^{10}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar \frac{\partial f}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia: derivada de (2x+3y)^{10} em relação a x é
10\,(2x+3y)^{9}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x+3y) =10\,(2x+3y)^{9}\cdot 2 =20\,(2x+3y)^{9}.

Passo 3

Para achar \frac{\partial f}{\partial y}, usamos a mesma ideia mas derivamos em relação a y:
10\,(2x+3y)^{9}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y) =10\,(2x+3y)^{9}\cdot 3 =30\,(2x+3y)^{9}.

Passo 4

Para \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=20\,(2x+3y)^{9} em relação a x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =20\cdot 9\,(2x+3y)^{8}\cdot 2 =360\,(2x+3y)^{8}.

Passo 5

Para \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=20\,(2x+3y)^{9} em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =20\cdot 9\,(2x+3y)^{8}\cdot 3 =540\,(2x+3y)^{8}.

Passo 6

Para \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, derivamos \frac{\partial f}{\partial y}=30\,(2x+3y)^{9} em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =30\cdot 9\,(2x+3y)^{8}\cdot 3 =810\,(2x+3y)^{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=20\,(2x+3y)^{9}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=30\,(2x+3y)^{9}
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=360\,(2x+3y)^{8}
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=540\,(2x+3y)^{8}
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=810\,(2x+3y)^{8}

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