Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=y^{5}-3 x y;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y^{5}-3xy
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Para resolver, lembramos que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e ao derivar em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 2

Derivadas parciais de primeira ordem:
Ao derivar em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{5}\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy\bigr) =0-3y =-3y.
Ao derivar em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{5}\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy\bigr) =5y^{4}-3x.

Passo 3

Derivadas parciais de segunda ordem a partir de \partial f/\partial x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3y\bigr) =0,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3y\bigr) =-3.

Passo 4

Derivadas parciais de segunda ordem a partir de \partial f/\partial y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5y^{4}-3x\bigr) =-3,
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5y^{4}-3x\bigr) =20y^{3}.

Resposta

\displaystyle f_{x}=-3y,\quad f_{y}=5y^{4}-3x
\displaystyle f_{xx}=0,\quad f_{xy}=-3,\quad f_{yx}=-3,\quad f_{yy}=20y^{3}

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