Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=\ln (x+2 y);

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y) = \ln\bigl(x + 2y\bigr).
Aqui vamos usar o regra da cadeia para derivada de \ln(u), que diz
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u) = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x},
e procedimento análogo para derivadas em y.

Passo 2

Vamos obter primeiro as derivadas de primeira ordem. Definindo u(x,y)=x+2y, temos
f_x = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+2y}\cdot 1 = \frac{1}{x+2y},
f_y = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+2y}\cdot 2 = \frac{2}{x+2y}.

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem a partir de f_x. Como
f_x = (x+2y)^{-1},
aplicamos a regra da cadeia de novo:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(x+2y)^{-1} = -1\,(x+2y)^{-2}\,\frac{\partial}{\partial x}(x+2y) = -\frac{1}{(x+2y)^{2}},
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(x+2y)^{-1} = -1\,(x+2y)^{-2}\,\frac{\partial}{\partial y}(x+2y) = -\frac{2}{(x+2y)^{2}}.

Passo 4

E as derivadas de segunda ordem a partir de f_y. Como
f_y = 2\,(x+2y)^{-1},
temos
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2\,(x+2y)^{-1}\bigr] = 2\bigl(-1\,(x+2y)^{-2}\bigr)\cdot 1 = -\frac{2}{(x+2y)^{2}},
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2\,(x+2y)^{-1}\bigr] = 2\bigl(-1\,(x+2y)^{-2}\bigr)\cdot 2 = -\frac{4}{(x+2y)^{2}}.

Resposta

f_x = \dfrac{1}{x+2y}
f_y = \dfrac{2}{x+2y}
f_{xx} = -\dfrac{1}{(x+2y)^{2}}
f_{xy} = -\dfrac{2}{(x+2y)^{2}}
f_{yx} = -\dfrac{2}{(x+2y)^{2}}
f_{yy} = -\dfrac{4}{(x+2y)^{2}}

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