Determine se as funções abaixo g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} são contínuas nos seus domínios. g(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Queremos decidir onde g é contínua. O conteúdo principal é continuidade de funções racionais (frações de polinômios) e teste de continuidade em ponto especial via limites.]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador
x^2 + xy + y^2
é estritamente positivo (é fácil ver que só zera em (0,0)). Logo, naquela região g(x,y)=\frac{xy}{x^2+xy+y^2} é quociente de polinômios com denominador não nulo, e portanto é contínua em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Resta verificar a continuidade em (0,0). Para isso comparamos g(0,0)=0 com \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y). Se esse limite existir e for zero, g é contínua; caso contrário, é descontínua.
Considere a aproximação pela reta y=x. Para x\neq0 temos
g(x,x) =\frac{x\cdot x}{x^2 + x\cdot x + x^2} =\frac{x^2}{3x^2} =\frac13.
Quando x\to0, g(x,x)\to\frac13\neq0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)
não vale 0, pois ao menos numa direção (a reta y=x) o valor tende a \tfrac13. Assim g não é contínua em (0,0).
Resposta
A função g é contínua em todos os pontos com (x,y)\neq(0,0) e é descontínua em (0,0).