Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{x} \ln (y);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=\sqrt{x}\,\ln(y),
definida para x>0 e y>0.
Vamos usar as regras de derivação parcial: ao derivar em relação a x, tratamos \ln(y) como constante, e ao derivar em relação a y, tratamos \sqrt{x} como constante.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos em cada variável mantendo a outra fixa:
\frac{\partial f}{\partial x} =\ln(y)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\ln(y)\,\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\ln(y)}{2\sqrt{x}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\sqrt{x}\,\frac{d}{dy}\bigl(\ln(y)\bigr) =\sqrt{x}\,\frac{1}{y} =\frac{\sqrt{x}}{y}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\ln(y)}{2\sqrt{x}} em x e em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\ln(y)\,\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr) =\ln(y)\,\Bigl(-\tfrac{1}{4}x^{-3/2}\Bigr) =-\frac{\ln(y)}{4\,x^{3/2}},
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =\frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{\ln(y)}{2\sqrt{x}}\Bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x}}\;\frac{1}{y} =\frac{1}{2\sqrt{x}\,y}.

Passo 4

Derivamos \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{y} em x e em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} =\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{\sqrt{x}}{y}\Bigr) =\frac{1}{y}\;\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}\,y},
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =\sqrt{x}\,\frac{d}{dy}\Bigl(y^{-1}\Bigr) =\sqrt{x}\,\bigl(-y^{-2}\bigr) =-\frac{\sqrt{x}}{y^2}.

Resposta

\displaystyle f_x(x,y)=\frac{\ln(y)}{2\sqrt{x}}
\displaystyle f_y(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{y}
\displaystyle f_{xx}(x,y)=-\frac{\ln(y)}{4\,x^{3/2}}
\displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x}\,y}
\displaystyle f_{yx}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x}\,y}
\displaystyle f_{yy}(x,y)=-\frac{\sqrt{x}}{y^2}

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