Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=e^{x y} \operatorname{sen}(y).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=e^{xy}\operatorname{sen}(y).
O assunto é cálculo multivariável: usaremos a regra da cadeia para e^{xy} e a regra do produto sempre que tivermos fatores envolvendo x e y.

Passo 2

Para obter \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x}, tratamos \operatorname{sen}(y) como constante e derivamos \displaystyle e^{xy} em relação a x. Como
\frac{d}{dx}e^{xy}=y\,e^{xy},
vem
f_x = y\,e^{xy}\operatorname{sen}(y).

Passo 3

Para obter \displaystyle f_y=\frac{\partial f}{\partial y}, aplicamos a regra do produto a e^{xy}\cdot\operatorname{sen}(y). Temos
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}, \quad \frac{d}{dy}\operatorname{sen}(y)=\cos(y).
Logo
f_y = x\,e^{xy}\operatorname{sen}(y) + e^{xy}\cos(y) = e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr).

Passo 4

Para \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, derivamos f_x=y\,e^{xy}\operatorname{sen}(y) em relação a x. Como y\operatorname{sen}(y) é constante em x e \frac{d}{dx}e^{xy}=y\,e^{xy}, resulta
f_{xx} = y\operatorname{sen}(y)\cdot y\,e^{xy} = y^2\,e^{xy}\operatorname{sen}(y).

Passo 5

Para \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, derivamos f_x=y\,e^{xy}\operatorname{sen}(y) em relação a y. Usando produto entre y e e^{xy}\operatorname{sen}(y):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\bigr)=1, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\operatorname{sen}(y)\bigr) = e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr).
Então
f_{xy} =1\cdot e^{xy}\operatorname{sen}(y) + y\cdot e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr) = e^{xy}\bigl(\operatorname{sen}(y)+xy\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr).

Passo 6

Para \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, derivamos f_y=e^{xy}(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)) em relação a x. Usando produto entre e^{xy} e (x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)):
\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\,e^{xy}, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr)=\operatorname{sen}(y).
Assim
f_{yx} = y\,e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr) + e^{xy}\operatorname{sen}(y) = e^{xy}\bigl(xy\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)+\operatorname{sen}(y)\bigr),
que coincide com f_{xy} conforme esperado.

Passo 7

Para \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, derivamos
\displaystyle f_y=e^{xy}(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)) em relação a y. Seja u=e^{xy}, v=x\operatorname{sen}(y)+\cos(y). Então
u' = x\,e^{xy}, \quad v' = x\cos(y)-\sin(y).
Logo
f_{yy} = x\,e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr) + e^{xy}\bigl(x\cos(y)-\sin(y)\bigr) = e^{xy}\bigl(x^2\operatorname{sen}(y)+2x\cos(y)-\operatorname{sen}(y)\bigr).

Resposta

f_x = y\,e^{xy}\operatorname{sen}(y)
f_y = e^{xy}\bigl(x\operatorname{sen}(y)+\cos(y)\bigr)
f_{xx} = y^2\,e^{xy}\operatorname{sen}(y)
f_{xy} = e^{xy}\bigl(\operatorname{sen}(y)+xy\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr)
f_{yx} = e^{xy}\bigl(\operatorname{sen}(y)+xy\operatorname{sen}(y)+y\cos(y)\bigr)
f_{yy} = e^{xy}\bigl((x^2-1)\operatorname{sen}(y)+2x\cos(y)\bigr)

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