Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
f(x, y)=x^{4} y^{3}+8 x^{2} y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=x^{4}y^{3}+8x^{2}y.
O conteúdo é derivação parcial, onde ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra da potência:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(8x^{2}y\bigr) =4x^{3}y^{3}+16xy.

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra da potência:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(8x^{2}y\bigr) =3x^{4}y^{2}+8x^{2}.

Passo 4

Para a segunda derivada em relação a x, derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}y^{3}+16xy\bigr) =12x^{2}y^{3}+16y.

Passo 5

Para as derivadas mistas, derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{3}+16xy\bigr) =12x^{3}y^{2}+16x,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{4}y^{2}+8x^{2}\bigr) =12x^{3}y^{2}+16x.
Note que \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}.

Passo 6

Para a segunda derivada em relação a y, derivamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{4}y^{2}+8x^{2}\bigr) =6x^{4}y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}y^{3}+16xy
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}y^{2}+8x^{2}
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=12x^{2}y^{3}+16y
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x}=12x^{3}y^{2}+16x
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6x^{4}y

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