Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
O assunto é cálculo multivariável: usaremos a regra da cadeia para
e a regra do produto sempre que tivermos fatores envolvendo
e
.
Passo 2
Para obter
, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
. Como
vem
Passo 3
Para obter
, aplicamos a regra do produto a
. Temos
Logo
Passo 4
Para
, derivamos
em relação a
. Como
é constante em
e
, resulta
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
. Usando produto entre
e
:
Então
Passo 6
Para
, derivamos
em relação a
. Usando produto entre
e
:
Assim
que coincide com
conforme esperado.
Passo 7
Para
, derivamos
em relação a
. Seja
,
. Então
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