Determine os planos tangentes das superfícies abaixo nos pontos indicados.
z=3 y^{2}-2 x^{2}+x, P=(2,-1,-3);

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície \(z = f(x,y)\) com
f(x,y) = 3y^{2} \;-\; 2x^{2} \;+\; x
e pede o plano tangente em \(P=(2,-1,-3)\). Vamos usar a fórmula do plano tangente a um gráfico \(z=f(x,y)\):
z - z_{0} = f_x(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) \;+\; f_y(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \(f\):
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2} - 2x^{2} + x\bigr) = -4x + 1,
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2} - 2x^{2} + x\bigr) = 6y.
Em (x_{0},y_{0})=(2,-1) temos
f_x(2,-1) = -4\cdot 2 + 1 = -7,
f_y(2,-1) = 6\cdot(-1) = -6.

Passo 3

Substituindo na fórmula do plano tangente com \(z_{0}=-3\):
z - (-3) = -7\,(x - 2) \;+\; (-6)\,(y - (-1)).
Isto é
z + 3 = -7(x - 2)\;-\;6(y + 1).

Passo 4

Expandindo e simplificando:
z + 3 = -7x + 14 \;-\;6y - 6 = -7x - 6y +8
\Longrightarrow z = -7x - 6y + 8 - 3 = -7x - 6y + 5.

Resposta

O plano tangente é
\boxed{z = -7x \;-\; 6y \;+\; 5.}

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