Calcule as derivadas parciais primeiras das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função
Informações relevantes dadas:
- A função é explicitamente
. - Precisamos das duas derivadas parciais de primeira ordem:
e . - Pela presença do logaritmo natural, o argumento deve ser positivo:
. Vou assumir esse domínio sempre que derivar.
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática)?
A derivada parcial de em relação a
, escrita
, mede como
varia quando só alteramos
e mantemos
fixo. Analogamente,
mede a variação quando só alteramos
mantendo
fixo. Na prática, ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.
A derivada parcial de
Passo 3
Regras de derivação que vou usar (explicação das fórmulas):
- Derivada do logaritmo: para
função de e ,
ou seja, a derivada de
é a derivada de
dividida por
. Isso é o “chain rule” (regra da cadeia) aplicada ao logaritmo.
- Regra do produto: para duas funções
e ,
Isto significa que derivamos a primeira mantendo a segunda e somamos à primeira vezes a derivada da segunda.
- Derivadas simples:
e . Lembre que ao derivar em relação a tratamos como constante (logo ); ao derivar em relação a tratamos como constante.
Passo 4
Cálculo de
— passo a passo:
A função é . Para
consideramos
constante. Assim a constante
sai como fator:
A função é
Aplicando a regra da cadeia para o logaritmo com
temos
Agora calculamos
. Como
e
é constante em relação a
,
Substituindo na expressão do logaritmo:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Cálculo de
— passo a passo:
Agora derivamos em relação a , tratando
como constante. Temos um produto
com
. Aplicamos a regra do produto:
Agora derivamos em relação a
A primeira parcela é simples:
, então ela é
. Para a segunda parcela usamos novamente a regra da cadeia para o logaritmo:
Calculamos
. Como
e
é constante em relação a
,
Logo
Multiplicando pelo fator
da regra do produto, a segunda parcela fica
Somando as duas parcelas obtemos
Passo 6
Interpretação e possibilidade de simplificação:
A forma acima já está clara e correta. Se quiser combinar em um único quociente, pode-se fazer:
A forma acima já está clara e correta. Se quiser combinar em um único quociente, pode-se fazer:
porém frequentemente a forma mista
é mais legível na hora da prova. Lembre-se sempre da condição de existência:
.