Calcule as derivadas parciais primeiras das seguintes funções:
f(x, y)=y \cdot \ln \left(x^{2}-y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função
f(x,y)=y\cdot \ln\!\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A função é explicitamente f(x,y)=y\ln(x^{2}-y^{3}).
  • Precisamos das duas derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Pela presença do logaritmo natural, o argumento deve ser positivo: x^{2}-y^{3}>0. Vou assumir esse domínio sempre que derivar.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática)?
A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só alteramos x e mantemos y fixo. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a variação quando só alteramos y mantendo x fixo. Na prática, ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 3

Regras de derivação que vou usar (explicação das fórmulas):
  1. Derivada do logaritmo: para u função de x e y,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln u\bigr)=\frac{u'}{u},
ou seja, a derivada de \ln(u) é a derivada de u dividida por u. Isso é o “chain rule” (regra da cadeia) aplicada ao logaritmo.
  1. Regra do produto: para duas funções a(x,y) e b(x,y),
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a\cdot b\bigr)=\frac{\partial a}{\partial x}\cdot b + a\cdot \frac{\partial b}{\partial x}.
Isto significa que derivamos a primeira mantendo a segunda e somamos à primeira vezes a derivada da segunda.
  1. Derivadas simples: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dy}(y^{3})=3y^{2}. Lembre que ao derivar em relação a x tratamos y como constante (logo \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{3})=0); ao derivar em relação a y tratamos x como constante.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} — passo a passo:
A função é f(x,y)=y\cdot \ln\!\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr). Para \dfrac{\partial f}{\partial x} consideramos y constante. Assim a constante y sai como fator:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\ln\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)\Bigr).
Aplicando a regra da cadeia para o logaritmo com u(x,y)=x^{2}-y^{3} temos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\ln\bigl(u\bigr)\Bigr)=\frac{\partial u/\partial x}{u}.
Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u=x^{2}-y^{3} e y^{3} é constante em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr)=2x-0=2x.
Substituindo na expressão do logaritmo:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\ln\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)\Bigr)=\frac{2x}{x^{2}-y^{3}}.
Multiplicando pelo fator y que estava fora:
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2xy}{\,x^{2}-y^{3}\,}.}

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} — passo a passo:
Agora derivamos em relação a y, tratando x como constante. Temos um produto y\cdot \ln(u) com u=x^{2}-y^{3}. Aplicamos a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y)\cdot \ln(u) + y\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln(u)\Bigr).
A primeira parcela é simples: \dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1, então ela é \ln(u). Para a segunda parcela usamos novamente a regra da cadeia para o logaritmo:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln(u)\Bigr)=\frac{\partial u/\partial y}{u}.
Calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como u=x^{2}-y^{3} e x^{2} é constante em relação a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=0-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr)=-3y^{2}.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln(u)\Bigr)=\frac{-3y^{2}}{x^{2}-y^{3}}.
Multiplicando pelo fator y da regra do produto, a segunda parcela fica
y\cdot \frac{-3y^{2}}{x^{2}-y^{3}}=-\frac{3y^{3}}{x^{2}-y^{3}}.
Somando as duas parcelas obtemos
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\ln\!\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)\;-\;\frac{3y^{3}}{\,x^{2}-y^{3}\,}.}

Passo 6

Interpretação e possibilidade de simplificação:
A forma acima já está clara e correta. Se quiser combinar em um único quociente, pode-se fazer:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)\ln\!\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)-3y^{3}}{\,x^{2}-y^{3}\,},
porém frequentemente a forma mista \ln(\cdot)-\dfrac{3y^{3}}{x^{2}-y^{3}} é mais legível na hora da prova. Lembre-se sempre da condição de existência: x^{2}-y^{3}>0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{2xy}{\,x^{2}-y^{3}\,}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\ln\!\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)-\dfrac{3y^{3}}{\,x^{2}-y^{3}\,}

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