Determine o valor de k\) para que a função \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\cos (x y)-\cos ^{3}(x y)}{x^{2} y^{2}} & ;(x, y) \neq(0,0) \\\ k ; & ;(x, y)=(0,0)\end{cases}
seja continua no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\cos(xy)-\cos^3(xy)}{x^{2}y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] k, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de k para que f seja contínua em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
\,(x,y)\neq(0,0) temos a expressão \dfrac{\cos(xy)-\cos^3(xy)}{x^{2}y^{2}}.
\,(x,y)=(0,0) o valor da função é k.
O que a questão pergunta: escolher k igual ao limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), caso esse limite exista, para garantir continuidade em (0,0).]

Passo 2

Critério de continuidade em (0,0): a função é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=k. Portanto precisamos calcular
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\cos(xy)-\cos^3(xy)}{x^{2}y^{2}}
e então tomar k=L, se o limite existir.

Passo 3

Façamos uma simplificação algébrica útil. Defina u=xy. Então a parte trigonométrica é função de u.
Observe a identidade trigonométrica simples:
1-\cos^2 u=\sin^2 u.
Logo
\cos u-\cos^3 u=\cos u\,(1-\cos^2 u)=\cos u\;\sin^2 u.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) podemos reescrever o numerador como \cos(xy)\,\sin^2(xy).

Passo 4

Substituindo na função e usando u=xy (portanto u^2=x^2y^2), obtemos
\frac{\cos(xy)-\cos^3(xy)}{x^{2}y^{2}} = \frac{\cos u\;\sin^2 u}{u^2} = \cos u\;\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}.
Essa forma é muito conveniente porque separa um fator \cos u e o fator clássico \dfrac{\sin u}{u}.

Passo 5

Agora calculamos o limite usando propriedades de limites e fatos conhecidos sobre funções trigonométricas quando u\to 0.
  • Primeiro, quando (x,y)\to(0,0) temos u=xy\to 0. Então podemos analisar o limite em termos de u\to 0.
  • Sabemos que \lim_{u\to 0}\cos u = 1, porque o cosseno é contínuo e \cos 0=1.
  • Também sabemos o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Justificação curta desse último: para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1 (obtenível por argumentos geométricos ou pela desigualdade \sin u < u < \tan u); como \cos u\to 1 quando u\to 0, pelo teorema do confronto temos \dfrac{\sin u}{u}\to 1. O mesmo vale simetricamente para u\to 0 com sinais negativos.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \cos u\;\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2} = \left(\lim_{u\to 0}\cos u\right)\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\right)^{2} =1\cdot 1^{2}=1.

Passo 6

Concluímos que o limite existe e vale 1. Para que f seja contínua em (0,0) precisamos que k seja igual a esse limite. Logo devemos tomar k=1.
Força aí — você já resolveu o ponto mais importante: a função tende a 1 ao se aproximar de (0,0), então basta atribuir esse valor no ponto para garantir continuidade.

Resposta

k=1

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