Determine o valor de k\) para que a função
\(f(x, y)= \begin{cases}\frac{\cos (x y)-\cos ^{3}(x y)}{x^{2} y^{2}} & ;(x, y) \neq(0,0) \\\ k ; & ;(x, y)=(0,0)\end{cases}
e pede o valor de k para que f seja contínua em (0,0).
Informações relevantes fornecidas: \,(x,y)\neq(0,0) temos a expressão \dfrac{\cos(xy)-\cos^3(xy)}{x^{2}y^{2}}. \,(x,y)=(0,0) o valor da função é k.
O que a questão pergunta: escolher k igual ao limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y), caso esse limite exista, para garantir continuidade em (0,0).]
Passo 2
Critério de continuidade em (0,0): a função é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=k. Portanto precisamos calcular
Essa forma é muito conveniente porque separa um fator \cos u e o fator clássico \dfrac{\sin u}{u}.
Passo 5
Agora calculamos o limite usando propriedades de limites e fatos conhecidos sobre funções trigonométricas quando u\to 0.
Primeiro, quando (x,y)\to(0,0) temos u=xy\to 0. Então podemos analisar o limite em termos de u\to 0.
Sabemos que \lim_{u\to 0}\cos u = 1, porque o cosseno é contínuo e \cos 0=1.
Também sabemos o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Justificação curta desse último: para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1 (obtenível por argumentos geométricos ou pela desigualdade \sin u < u < \tan u); como \cos u\to 1 quando u\to 0, pelo teorema do confronto temos \dfrac{\sin u}{u}\to 1. O mesmo vale simetricamente para u\to 0 com sinais negativos.
Concluímos que o limite existe e vale 1. Para que f seja contínua em (0,0) precisamos que k seja igual a esse limite. Logo devemos tomar k=1.
Força aí — você já resolveu o ponto mais importante: a função tende a 1 ao se aproximar de (0,0), então basta atribuir esse valor no ponto para garantir continuidade.