Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{1-\cos \left(1+x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}} existe.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a afirmação "o limite
A função considerada é f(x,y)=\dfrac{1-\cos\bigl(1+x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}}.
O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,1).
Note que o denominador é x^{2}, que tende a 0 quando x\to0; portanto é um limite potencialmente indeterminado e devemos verificar comportamento em diferentes caminhos de aproximação em \mathbb{R}^{2}.
Precisamos decidir se o valor do limite é o mesmo para todo modo de aproximação a (0,1) (então existe) ou se depende do caminho (então não existe).
Passo 2
Estratégia e ferramenta que vamos usar (explicada didaticamente):
Para limites em várias variáveis, uma maneira prática de testar existência é verificar limites ao longo de caminhos diferentes que chegam ao mesmo ponto. Se obtivermos dois valores diferentes, o limite não existe.
Uma ferramenta útil aqui é a expansão de Taylor de \cos perto de 0:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\quad\text{quando }t\to 0,
onde o(t^{2}) significa "algo que é muito menor que t^{2} quando t\to0". Dessa expansão segue a propriedade clássica
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
Aplicaremos isso com t=1+x^{2}-y^{2}. Como (x,y)\to(0,1), temos t\to 0. Então, heurística: \;1-\cos t\sim \dfrac{t^{2}}{2}\; para pequenas t.
Passo 3
Cálculo ao longo do caminho y=1 (ou seja, y-1=0):
Colocando y=1 temos t=1+x^{2}-1=x^{2}.
Então o numerador é 1-\cos(x^{2}). Usando a expansão para pequenos argumentos,