Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{1-\cos \left(1+x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}} existe.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a afirmação "o limite
\lim_{(x,y)\to(0,1)} \frac{1-\cos\bigl(1+x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}}
existe" é verdadeira ou falsa, justificando.
Informações dadas e pontos importantes:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{1-\cos\bigl(1+x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)\to(0,1).
  • Note que o denominador é x^{2}, que tende a 0 quando x\to0; portanto é um limite potencialmente indeterminado e devemos verificar comportamento em diferentes caminhos de aproximação em \mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos decidir se o valor do limite é o mesmo para todo modo de aproximação a (0,1) (então existe) ou se depende do caminho (então não existe).

Passo 2

Estratégia e ferramenta que vamos usar (explicada didaticamente):
  • Para limites em várias variáveis, uma maneira prática de testar existência é verificar limites ao longo de caminhos diferentes que chegam ao mesmo ponto. Se obtivermos dois valores diferentes, o limite não existe.
  • Uma ferramenta útil aqui é a expansão de Taylor de \cos perto de 0:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\quad\text{quando }t\to 0,
onde o(t^{2}) significa "algo que é muito menor que t^{2} quando t\to0". Dessa expansão segue a propriedade clássica
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
  • Aplicaremos isso com t=1+x^{2}-y^{2}. Como (x,y)\to(0,1), temos t\to 0. Então, heurística: \;1-\cos t\sim \dfrac{t^{2}}{2}\; para pequenas t.

Passo 3

Cálculo ao longo do caminho y=1 (ou seja, y-1=0):
  • Colocando y=1 temos t=1+x^{2}-1=x^{2}.
  • Então o numerador é 1-\cos(x^{2}). Usando a expansão para pequenos argumentos,
1-\cos(x^{2}) \sim \frac{(x^{2})^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{2}.
  • Portanto
\frac{1-\cos(1+x^{2}-y^{2})}{x^{2}}\Bigg|_{y=1}=\frac{1-\cos(x^{2})}{x^{2}}\sim \frac{x^{4}/2}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{2}\to 0
quando x\to 0. Conclusão: pelo caminho y=1 o limite vale 0.

Passo 4

Cálculo ao longo do caminho linear y=1+ax, com a constante qualquer (ou seja, y-1=ax):
  • Defina h=y-1=ax. Então
t=1+x^{2}-y^{2}=1+x^{2}-(1+h)^{2}=x^{2}-2h-h^{2}.
  • Substituindo h=ax obtemos
t=x^{2}-2(ax)-(ax)^{2}=-2ax+(1-a^{2})x^{2}.
  • Para x pequeno o termo dominante em t é -2ax (linha de ordem x), então t\to 0 quando x\to0 e t é da ordem de x.
  • Use a identidade limite mencionada:
\frac{1-\cos t}{x^{2}}=\frac{1-\cos t}{t^{2}}\cdot\frac{t^{2}}{x^{2}}.
Como t\to0 quando x\to0, temos \dfrac{1-\cos t}{t^{2}}\to \dfrac{1}{2}. Então o limite ao longo deste caminho será
\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{t^{2}}{x^{2}}.
  • Calcule \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{t^{2}}{x^{2}}. Com t=-2ax+(1-a^{2})x^{2},
\frac{t^{2}}{x^{2}}=\bigl(-2a+(1-a^{2})x\bigr)^{2}\xrightarrow[x\to0]{}( -2a)^{2}=4a^{2}.
  • Portanto o limite ao longo de y=1+ax é
\frac{1}{2}\cdot 4a^{2}=2a^{2}.

Passo 5

Concluir variabilidade conforme o caminho:
  • Pelo Passo 3, ao longo de y=1 (que é o caso a=0) o limite é 0.
  • Pelo Passo 4, ao longo de y=1+ax o limite é 2a^{2}. Tomando, por exemplo, a=1 (ou seja, y=1+x) obtemos limite 2.
  • Como temos pelo menos dois caminhos com limites diferentes ( 0 e 2), o limite da função quando (x,y)\to(0,1) não é único e, portanto, não existe.

Resposta

Falso

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