Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\int_{x}^{y} \ln \sin t d t

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=\int_{x}^{y}\ln\bigl(\sin t\bigr)\,dt
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.
O conteúdo envolvido é a regra de diferenciação de uma integral com limites variáveis (regra de Leibniz).

Passo 2

A regra de Leibniz para uma função
F(u,v)=\int_{u}^{v}g(t)\,dt
que não depende de u nem de v no integrando diz que
\frac{\partial F}{\partial u}=-\,g(u), \qquad \frac{\partial F}{\partial v}=g(v).
Aqui g(t)=\ln\bigl(\sin t\bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao limite inferior u=x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =-\,\ln\bigl(\sin x\bigr).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao limite superior v=y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} =\ln\bigl(\sin y\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\ln\bigl(\sin x\bigr), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\ln\bigl(\sin y\bigr).

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