Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\sin \left(y^{2}-4 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin\bigl(y^{2}-4x\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=\sin(u) então f'(u)=\cos(u) e depois multiplicar pela derivada interna de u=y^{2}-4x.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. Tomando
u=y^{2}-4x,
temos \frac{\partial u}{\partial x}=-4. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr)\cdot(-4) =-4\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Novamente u=y^{2}-4x e
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} =\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} =\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr)\cdot(2y) =2y\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=-4\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y\cos\bigl(y^{2}-4x\bigr).

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