1. Assuma que existam e são contínuas todas as derivadas que serão consideradas nas funções abaixo. Sabemos da regra da cadeia que se u=f(x, y), x=x(t) e y=y(t), então teremos u=u(t) e
u^{\prime}(t)=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}(t)+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}(t) .
Repetindo este argumento, calcule u^{\prime \prime}(t). Lembre que as derivadas parciais acima estão sendo calculadas em termos de x(t), y(t), isto é, na fórmula acima
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t), y(t)), \text { e } \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t)) .

Passo 1

O enunciado nos dá
u(t) = f\bigl(x(t),\,y(t)\bigr)
com f de variáveis x,y e x=x(t), y=y(t). Já sabemos pela regra da cadeia que
u'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t) \;+\;\frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
O objetivo é repetir a diferenciação em relação a t para obter u''(t).

Passo 2

Vamos aplicar d/dt ao resultado de u'(t). Como há dois termos produtos, usamos a regra do produto em cada um:
u''(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\,x'\Bigr) +\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\,y'\Bigr).

Passo 3

Em cada derivada de produto, fazemos
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}\,x'\Bigr) =\Bigl(\tfrac{d}{dt}\tfrac{\partial f}{\partial x}\Bigr)\,x' +\tfrac{\partial f}{\partial x}\,x''.
Analogamente,
\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial y}\,y'\Bigr) =\Bigl(\tfrac{d}{dt}\tfrac{\partial f}{\partial y}\Bigr)\,y' +\tfrac{\partial f}{\partial y}\,y''.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia às derivadas dos parciais:
\frac{d}{dt}\tfrac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\,x' +\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\,y',
\frac{d}{dt}\tfrac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\,x' +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\,y'.
Como as segundas derivadas mistas são iguais \partial^2f/\partial x\partial y=\partial^2f/\partial y\partial x, podemos combinar termos.

Passo 5

Substituindo tudo em u''(t) e agrupando termos semelhantes, obtemos
u''(t) =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x')^2 +2\,\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\,x'y' +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(y')^2 +\frac{\partial f}{\partial x}\,x'' +\frac{\partial f}{\partial y}\,y''.

Resposta

u''(t) =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\bigl(x'(t)\bigr)^2 +2\,\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\,x'(t)\,y'(t) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\bigl(y'(t)\bigr)^2 +\frac{\partial f}{\partial x}\,x''(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\,y''(t).

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