Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\sqrt{3 x+2 y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\sqrt{3x+2y}.
Aqui o conteúdo é cálculo de derivada parcial e vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} e u=3x+2y, então
\frac{d}{du}u^{1/2}=\frac12\,u^{-1/2}
e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x ou y.

Passo 2

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}, tomamos u=3x+2y. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(3x+2y)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(3x+2y) =\frac{1}{2}(3x+2y)^{-1/2}\cdot3 =\frac{3}{2\sqrt{3x+2y}}.

Passo 3

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}, procedemos de modo análogo:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2}(3x+2y)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(3x+2y) =\frac{1}{2}(3x+2y)^{-1/2}\cdot2 =\frac{1}{\sqrt{3x+2y}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3}{2\sqrt{3x+2y}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{3x+2y}}.

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