Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x e^{-y}+5 y

Passo 1

O enunciado solicita as derivadas parciais da função
f(x, y)=x e^{-y}+5 y.
O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais, em que derivamos em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante. A derivada de x e^{-y} em relação a x é e^{-y} (pois e^{-y} é constante) e a de 5y em relação a x é zero. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-y}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante. Aplicando a regra da cadeia em x e^{-y}, obtemos
\frac{d}{dy}\bigl(xe^{-y}\bigr)=x\cdot(-e^{-y})=-x e^{-y},
e a derivada de 5y é 5. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x e^{-y}+5.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-y} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x e^{-y}+5

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