Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função 
 . Isso envolve entender derivadas parciais, funções trigonométricas e como manipular frações dentro de raízes. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar de como derivar a tangente e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 .
A função é 
 . Vamos chamar o que está dentro da tangente de 
 :
Então, 
 .
Passo 3
Para derivar 
  em relação a 
 , aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
 .
Usamos a regra da potência e a regra da cadeia novamente:
Derivando 
  em relação a 
 :
Passo 5
Substituindo de volta na derivada de 
 :
Isso pode ser simplificado:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Voltando à derivada de 
 :
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 .
Usando a mesma lógica:
Passo 8
Derivando 
  em relação a 
 :
Isso simplifica para:
Passo 9
Substituindo de volta na derivada de 
 :
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função 
  são:
e