Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rrl}\frac{2 x y}{3 x^{2}+5 y^{2}}, & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{3x^{2}+5y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Para os pontos distintos de (0,0) usamos a regra do quociente; em (0,0) aplicamos a definição de derivada parcial como limite.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), seja
u(x,y)=2xy,\quad v(x,y)=3x^2+5y^2.
Então
u_x=2y,\quad v_x=6x
e, pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{2y\,(3x^2+5y^2)-2xy\cdot6x}{(3x^2+5y^2)^2} =\frac{10y^3-6x^2y}{(3x^2+5y^2)^2} =\frac{2y\,(5y^2-3x^2)}{(3x^2+5y^2)^2}.

Passo 3

Para (x,y)\neq(0,0), calculamos
u_y=2x,\quad v_y=10y
e, pela regra do quociente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{2x\,(3x^2+5y^2)-2xy\cdot10y}{(3x^2+5y^2)^2} =\frac{6x^3-10xy^2}{(3x^2+5y^2)^2} =\frac{2x\,(3x^2-5y^2)}{(3x^2+5y^2)^2}.

Passo 4

Em (0,0), pela definição
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.

Passo 5

De modo análogo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2y\,(5y^2-3x^2)}{(3x^2+5y^2)^2},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,& (x,y)=(0,0), \end{cases}\
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2x\,(3x^2-5y^2)}{(3x^2+5y^2)^2},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}

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