Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
S=arctg(w z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ S = \arctan(wz) $. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as regras de derivação parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas na função. Aqui, $ S $ é uma função de duas variáveis: $ w $ e $ z $. Queremos encontrar como $ S $ muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ S $ em relação a $ w $, ou seja, $ \frac{\partial S}{\partial w} $. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
S
A derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^2} $. Aplicando a regra da cadeia:
w

Passo 4

Agora, precisamos derivar $ wz $ em relação a $ w $. Como $ z $ é tratada como uma constante quando derivamos em relação a $ w $:
wz

Passo 5

Substituímos de volta na expressão da derivada parcial:
partial Spartial w = 11 + (wz)^2 cdot z = z1 + w^2 z^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ S $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial S}{\partial z} $. Usando a mesma abordagem:
S

Passo 7

Derivando $ wz $ em relação a $ z $, com $ w $ sendo constante:
wz

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial Spartial z = 11 + (wz)^2 cdot w = w1 + w^2 z^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ S = \arctan(wz) $ são:
S = arctan(wz)
partial Spartial w = z1 + w^2 z^2

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