Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede para calcular as derivadas parciais da função $ S = \arctan(wz) $. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as regras de derivação parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas na função. Aqui, $ S $ é uma função de duas variáveis: $ w $ e $ z $. Queremos encontrar como $ S $ muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ S $ em relação a $ w $, ou seja, $ \frac{\partial S}{\partial w} $. Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
A derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^2} $. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos derivar $ wz $ em relação a $ w $. Como $ z $ é tratada como uma constante quando derivamos em relação a $ w $:
Passo 5
Substituímos de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ S $ em relação a $ z $, ou seja, $ \frac{\partial S}{\partial z} $. Usando a mesma abordagem:
Passo 7
Derivando $ wz $ em relação a $ z $, com $ w $ sendo constante:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais da função $ S = \arctan(wz) $ são: