Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
w=e^{x y z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w=e^{x y z^{2}}.
O conteúdo é diferenciação parcial de funções de várias variáveis usando a regra da cadeia: ao derivar em relação a uma variável, as demais são tratadas como constantes.

Passo 2

Para \frac{\partial w}{\partial x} escrevemos w=e^{u} com u=x y z^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=y z^{2}, segue
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x y z^{2}}\;y z^{2}.

Passo 3

Para \frac{\partial w}{\partial y} usamos o mesmo u=x y z^{2}. Novamente,
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \frac{\partial u}{\partial y}=x z^{2}, obtemos
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{x y z^{2}}\;x z^{2}.

Passo 4

Para \frac{\partial w}{\partial z} aplicamos a cadeia com u=x y z^{2}:
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial z}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial z}=x y\cdot 2z=2x y z, logo
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{x y z^{2}}\;2x y z.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x y z^{2}}\,y z^{2}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = e^{x y z^{2}}\,x z^{2}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = e^{x y z^{2}}\,2x y z.

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