Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
f(x, y)=|y|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=|y|
usando curvas de nível. O conteúdo é estudo de superfícies em duas variáveis reais; precisamos encontrar, para cada valor de nível k\ge0, o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}
e depois entender como esses cortes constroem a superfície z=|y|.

Passo 2

Determinamos as curvas de nível. Para um nível fixo k\ge0:
f(x,y)=k \quad\Longleftrightarrow\quad |y|=k
Isto gera, no plano xy:
  • Se k>0, as retas
    \,y=k\quad e\quad \,y=-k.
  • Se k=0, apenas a reta \,y=0.

Passo 3

Cada curva de nível y=\pm k vive no plano z=k. Então, no espaço (x,y,z), para cada k>0 há duas linhas paralelas ao eixo x em altura z=k, localizadas em y=k e y=-k. Para k=0, temos a linha y=0 em z=0.

Passo 4

Ao variar k continuamente de 0 para valores maiores, vemos que o conjunto de todas essas linhas forma uma superfície composta de dois “planos inclinados”:
  • Para y\ge0, temos z=|y|=y.
  • Para y\le0, temos z=|y|=-y.
    Em ambos os casos a variável x é livre, gerando uma dobra em forma de “V” que se estende ao longo de todo o eixo x.

Passo 5

Concluímos que o gráfico de z=|y|\) é a união das duas metades de plano: \[\begin{cases} z=y, & y\ge0,\\\ z=-y, & y\le0, \end{cases}
ambas estendidas infinitamente na direção x\]. Visualmente, é como se cortássemos um “V” ao longo do eixo \(x.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=|y| é uma superfície em “V” com aresta coincidindo com o eixo x; consiste nos planos z=y para y\ge0 e z=-y para y\le0, estendidos em x. As curvas de nível são as linhas y=k e y=-k, em z=k, para cada k>0, e a reta y=0 em z=0.

Exercícios relacionados