Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
usando curvas de nível. O conteúdo é estudo de superfícies em duas variáveis reais; precisamos encontrar, para cada valor de nível
, o conjunto
e depois entender como esses cortes constroem a superfície
.
Passo 2
Determinamos as curvas de nível. Para um nível fixo
:
Isto gera, no plano
:
- Se
, as retas
\quad e\quad . - Se
, apenas a reta .
Passo 3
Cada curva de nível
vive no plano
. Então, no espaço
, para cada
há duas linhas paralelas ao eixo
em altura
, localizadas em
e
. Para
, temos a linha
em
.
Passo 4
Ao variar
continuamente de
para valores maiores, vemos que o conjunto de todas essas linhas forma uma superfície composta de dois “planos inclinados”:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Em ambos os casos a variávelé livre, gerando uma dobra em forma de “V” que se estende ao longo de todo o eixo .
Passo 5
Concluímos que o gráfico de
ambas estendidas infinitamente na direção
.
Resposta
O gráfico de
é uma superfície em “V” com aresta coincidindo com o eixo
; consiste nos planos
para
e
para
, estendidos em
. As curvas de nível são as linhas
e
, em
, para cada
, e a reta
em
.