Verifique se os limites das seguintes funções dadas existem no ponto
(0,0) :
f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Para limites de duas variáveis, a condição de existência é que o valor da função ao longo de qualquer trajetória que leve a (0,0) seja o mesmo.

Passo 2

Verifiquemos primeiro trajetórias simples:
— Se tomarmos y=m x, com m\neq -x perto de zero, então
f(x,mx) =\frac{x^{3}+m^{3}x^{3}}{x^{2}+m x} =\frac{x^{3}(1+m^{3})}{x(x+m)} =x^{2}\,\frac{1+m^{3}}{x+m}
e, ao fazermos x\to0, obtemos
\lim_{x\to0}f(x,mx)=0.
— Se tomarmos y=k x^{2}, com k\neq -1, então
f(x,kx^{2}) =\frac{x^{3}+k^{3}x^{6}}{x^{2}+k x^{2}} =\frac{x^{3}(1+k^{3}x^{3})}{x^{2}(1+k)} =x\,\frac{1+k^{3}x^{3}}{1+k}
e, ao fazermos x\to0, também
\lim_{x\to0}f(x,kx^{2})=0.
Esses resultados sugerem 0, mas não garantem a existência do limite em geral.

Passo 3

Agora escolhemos uma trajetória que force cancelamento de ordem maior no denominador, por exemplo
y=-x^{2}+c\,x^{3},
com constante c\neq0. Nesse caso
x^{2}+y =x^{2}-x^{2}+c\,x^{3} =c\,x^{3},
e
x^{3}+y^{3} =x^{3}+\bigl(-x^{2}+c\,x^{3}\bigr)^{3} =x^{3}+\bigl(-x^{6}+\mathcal O(x^{7})\bigr) =x^{3}+\mathcal O(x^{6}) \sim x^{3}.
Logo
f\bigl(x,-x^{2}+c\,x^{3}\bigr) =\frac{x^{3}+\mathcal O(x^{6})}{c\,x^{3}} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;\frac{1}{c}.
O limite depende de c.

Passo 4

Como ao longo de trajetórias diferentes obtemos valores distintos (por exemplo 0 e 1/c), o limite de f(x,y) em (0,0) não é único. Portanto ele não existe.

Resposta

O limite não existe.

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