Verifique se os limites das seguintes funções dadas existem no ponto (0,0) : f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y}
e pede o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Para limites de duas variáveis, a condição de existência é que o valor da função ao longo de qualquer trajetória que leve a (0,0) seja o mesmo.
Passo 2
Verifiquemos primeiro trajetórias simples:
— Se tomarmos y=m x, com m\neq -x perto de zero, então
Como ao longo de trajetórias diferentes obtemos valores distintos (por exemplo 0 e 1/c), o limite de f(x,y) em (0,0) não é único. Portanto ele não existe.