Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
w=e^{x^{2} y^{3} z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
w = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}
com respeito a x, y e z. O conteúdo usado será a regra da cadeia para funções compostas, lembrando que
\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}
e que, em derivadas parciais, tratamos as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, apliquei a regra da cadeia:
  1. Identifico u = x^{2}y^{3}z^{4}.
  2. Sei que
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
  1. Calculo
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}z^{4}\bigr) = 2x\,y^{3}z^{4}.
  1. Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot 2x\,y^{3}z^{4}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}, o procedimento é análogo:
  1. Mantém-se u = x^{2}y^{3}z^{4}.
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}z^{4}\bigr) = 3x^{2}y^{2}z^{4}.
  1. Portanto,
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot 3x^{2}y^{2}z^{4}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}, repete-se o mesmo raciocínio:
  1. u = x^{2}y^{3}z^{4}.
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial z}.
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}y^{3}z^{4}\bigr) = 4x^{2}y^{3}z^{3}.
  1. Assim,
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot 4x^{2}y^{3}z^{3}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,y^{3}z^{4}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}
\frac{\partial w}{\partial y} = 3x^{2}y^{2}z^{4}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}
\frac{\partial w}{\partial z} = 4x^{2}y^{3}z^{3}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}

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