Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
w=\cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
w(x,y,z)=\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
satisfaz a equação em derivadas parciais
\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivar w em cada variável e depois somar os resultados.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}. Como
w=\cos\bigl(u\bigr),\quad u=x^{2}+y^{2}+z^{2},
temos
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{d}{du}\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =-\sin(u)\cdot 2x =-2x\,\sin\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} obtemos
\frac{\partial w}{\partial y} =-2y\,\sin\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial w}{\partial z} =-2z\,\sin\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Somando as três derivadas parciais:
\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z} =-2\bigl(x+y+z\bigr)\, \sin\!\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Essa expressão só é identicamente zero se \sin(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0 para todo (x,y,z) ou se x+y+z=0 para todo (x,y,z), o que não ocorre em domínio aberto.

Passo 5

Concluímos que a soma das derivadas parciais não é igual a zero para valores arbitrários de (x,y,z). Logo, w não satisfaz a equação \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 de forma geral.

Resposta

A função w(x,y,z)=\cos(x^{2}+y^{2}+z^{2}) não satisfaz a equação dada.

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