Exercício 13. Dê exemplo de uma função f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que f_{x}(x, y)=0 e f_{y}(x, y)=0, para todo (x, y) \in D, mas que f não seja constante em D.

Passo 1

O enunciado pede uma função f\colon D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
  1. Em todo ponto de D tenhamos \,f_x(x,y)=0 e \,f_y(x,y)=0.
  2. Apesar disso, f não seja constante em D.
A teoria nos diz que, se D fosse conexo e f continuamente diferenciável com \nabla f=0, então f seria constante. Para violar a conclusão, basta fazer D não conectado e definir f como constantes diferentes em cada componente de D.

Passo 2

Vamos escolher
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x<0\},
que é a união de duas metades desconexas do plano. Definimos então
f(x,y)= \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ 0, & x<0. \end{cases}

Passo 3

Em cada componente de D (i.e.\ em \{x>0\} e em \{x<0\}) a função f é constante. Logo, em ambos os casos, por derivada de constante, temos
f_x(x,y)=0 \quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0
para todo (x,y)\in D.

Passo 4

No entanto, f assume valor 1 na metade onde x>0 e valor 0 na metade onde x<0. Portanto f não é constante em D, pois existem pontos em D com imagens diferentes.

Resposta

Um exemplo válido é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\neq 0\}, \qquad f(x,y) = \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ 0, & x<0, \end{cases}
que satisfaz f_x=f_y=0 em todo D, mas não é constante em D.

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