Exercício 13. Dê exemplo de uma função f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que f_{x}(x, y)=0 e f_{y}(x, y)=0, para todo (x, y) \in D, mas que f não seja constante em D.
Passo 1
O enunciado pede uma função f\colon D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
Em todo ponto de D tenhamos \,f_x(x,y)=0 e \,f_y(x,y)=0.
Apesar disso, fnão seja constante em D.
A teoria nos diz que, se D fosse conexo e f continuamente diferenciável com \nabla f=0, então f seria constante. Para violar a conclusão, basta fazer Dnão conectado e definir f como constantes diferentes em cada componente de D.
Passo 2
Vamos escolher
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\}\;\cup\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x<0\},
que é a união de duas metades desconexas do plano. Definimos então
Em cada componente de D (i.e.\ em \{x>0\} e em \{x<0\}) a função f é constante. Logo, em ambos os casos, por derivada de constante, temos
f_x(x,y)=0 \quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0
para todo (x,y)\in D.
Passo 4
No entanto, f assume valor 1 na metade onde x>0 e valor 0 na metade onde x<0. Portanto fnão é constante em D, pois existem pontos em D com imagens diferentes.