Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f.
f(x, y, z)=x y \operatorname{sen} z-x z \operatorname{sen} y;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y,z)=x\,y\,\sin z \;-\; x\,z\,\sin y.
Para isso vamos usar regras de derivação de funções de várias variáveis: regra do produto e as derivadas \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em x (tratando y e z como constantes):
f_x = \dfrac{\partial}{\partial x}(x\,y\,\sin z) \;-\;\dfrac{\partial}{\partial x}(x\,z\,\sin y) = y\,\sin z \;-\; z\,\sin y.
Derivando em y:
f_y = \dfrac{\partial}{\partial y}(x\,y\,\sin z) \;-\;\dfrac{\partial}{\partial y}(x\,z\,\sin y) = x\,\sin z \;-\; x\,z\,\cos y.
Derivando em z:
f_z = \dfrac{\partial}{\partial z}(x\,y\,\sin z) \;-\;\dfrac{\partial}{\partial z}(x\,z\,\sin y) = x\,y\,\cos z \;-\; x\,\sin y.

Passo 3

Agora derivamos cada uma dessas em x,y,z para obter as segundas parciais.
Derivando f_x = y\,\sin z - z\,\sin y:
f_{xx} = \dfrac{\partial}{\partial x}(y\,\sin z - z\,\sin y)=0,
f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}(y\,\sin z - z\,\sin y) = \sin z \;-\; z\,\cos y,
f_{xz} = \dfrac{\partial}{\partial z}(y\,\sin z - z\,\sin y) = y\,\cos z \;-\;\sin y.

Passo 4

Derivando f_y = x\,\sin z - x\,z\,\cos y:
f_{yy} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x\,\sin z - x\,z\,\cos y) = x\,z\,\sin y,
f_{yz} = \dfrac{\partial}{\partial z}(x\,\sin z - x\,z\,\cos y) = x\,\cos z \;-\; x\,\cos y.

Passo 5

Derivando f_z = x\,y\,\cos z - x\,\sin y:
f_{zz} = \dfrac{\partial}{\partial z}(x\,y\,\cos z - x\,\sin y) = -\,x\,y\,\sin z.

Resposta

f_{xx} = 0 f_{xy} = f_{yx} = \sin z - z\cos y f_{xz} = f_{zx} = y\cos z - \sin y f_{yy} = x\,z\,\sin y f_{yz} = f_{zy} = x\,\cos z - x\,\cos y f_{zz} = -\,x\,y\,\sin z

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