Exercício 15. Seja g uma função de uma variável real duas vezes diferenciável. Considere h(x, y)= g(x+y)+g(x-y) e mostre que
\frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} h}{\partial y^{2}}
Isto quer dizer que a função h é uma solução para a equação da onda para qualquer função g de classe C^{2}. A equação da onda é dada por:
u_{x x}-u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^2 e definimos
h(x,y)=g(x+y)+g(x-y).
Queremos mostrar que
\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \;=\;\frac{\partial^2 h}{\partial y^2},
isto é, h satisfaz a equação da onda u_{xx}-u_{yy}=0. Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciais.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas em relação a x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial h}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl[g(x+y)\bigr]+\frac{d}{dx}\bigl[g(x-y)\bigr] =g'(x+y)\cdot1+g'(x-y)\cdot1 =g'(x+y)+g'(x-y).
Agora derivamos de novo em x:
\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} =\frac{d}{dx}\bigl[g'(x+y)+g'(x-y)\bigr] =g''(x+y)\cdot1+g''(x-y)\cdot1 =g''(x+y)+g''(x-y).

Passo 3

Agora as derivadas em relação a y. De novo a regra da cadeia dá
\frac{\partial h}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl[g(x+y)\bigr]+\frac{d}{dy}\bigl[g(x-y)\bigr] =g'(x+y)\cdot1+g'(x-y)\cdot(-1) =g'(x+y)-g'(x-y).
Derivando mais uma vez em y:
\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} =\frac{d}{dy}\bigl[g'(x+y)-g'(x-y)\bigr] =g''(x+y)\cdot1-\bigl[g''(x-y)\cdot(-1)\bigr] =g''(x+y)+g''(x-y).

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} =g''(x+y)+g''(x-y) =\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}.
Logo h satisfaz
h_{xx}-h_{yy}=0,
isto é, é solução da equação da onda.

Resposta

\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} =\frac{\partial^2 h}{\partial y^2}.

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