Exercício 15. Seja g uma função de uma variável real duas vezes diferenciável. Considere
e mostre que
Isto quer dizer que a função h é uma solução para a equação da onda para qualquer função
de classe
. A equação da onda é dada por:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
de classe
e definimos
Queremos mostrar que
isto é,
satisfaz a equação da onda
. Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciais.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas em relação a
. Pela regra da cadeia,
Agora derivamos de novo em
:
Passo 3
Agora as derivadas em relação a
. De novo a regra da cadeia dá
Derivando mais uma vez em
:
Passo 4
Comparando os resultados, vemos que
Logo
satisfaz
isto é, é solução da equação da onda.