Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=\operatorname{sec} (3 x+4 x y),(x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=\operatorname{sec}(3x+4xy) no ponto (x,y)=(0,0). Ou seja, preciso encontrar
f_{xx}(0,0),\qquad f_{yy}(0,0),\qquad f_{xy}(0,0)
(onde f_{xy} é a derivada parcial de f_x em relação a y).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sec}\big(3x+4xy\big).
  • O ponto onde avaliaremos as segundas derivadas é (0,0).

Passo 2

Relembrando regras úteis (aula rápida, calma que eu explico devagar):
  • Se f(x,y)=g\big(u(x,y)\big), então para derivar em relação a x usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = g'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
  • Derivadas trigonométricas básicas (em notação g'(u)=\frac{d}{du}g(u)):
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sec} u\big)=\operatorname{sec} u\,\tan u,\qquad \frac{d}{du}\big(\tan u\big)=\operatorname{sec}^2 u.
  • Produto e cadeia combinam: se tiver produto de funções de x,y, use a regra do produto e dentro use cadeia quando aparecer u(x,y).
  • Identidade trigonométrica útil: \tan^2 u + 1 = \operatorname{sec}^2 u. Vou usar também a forma \tan^2 u + \operatorname{sec}^2 u = 1 + 2\tan^2 u quando necessário, mas não é essencial aqui — basta avaliar no ponto onde \tan 0=0 e \operatorname{sec} 0=1.

Passo 3

Defino a função interna
u(x,y)=3x+4xy = x(3+4y).
Então f(x,y)=\operatorname{sec}\big(u(x,y)\big).
Calculo as primeiras derivadas parciais (aplicando regra da cadeia).
Para x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u_x.
Como u_x=3+4y, fica
f_x = (3+4y)\,\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).
Para y:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u_y.
Como u_y=4x, fica
f_y = 4x\,\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 4

Agora calculo f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x).
Temos f_x=(3+4y)\,\operatorname{sec}(u)\,\tan(u). Ao derivar em x, o fator (3+4y) é constante (em relação a x), então:
f_{xx}=(3+4y)\,\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big).
Aplicando regra da cadeia para derivar \operatorname{sec}(u)\tan(u) em relação a x: primeiro derivamos em relação a u, depois multiplicamos por u_x. Derivada em relação a u:
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sec} u\,\tan u\big)=\operatorname{sec} u\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)
(isto vem da regra do produto: (\operatorname{sec} u)'\tan u+\operatorname{sec} u(\tan u)' = \operatorname{sec} u\tan u\cdot\tan u + \operatorname{sec} u\cdot\operatorname{sec}^2 u). Então
\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big)=\operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)\cdot u_x.
Substituindo u_x=3+4y,
f_{xx}=(3+4y)^2\,\operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big).
Avalio em (0,0). Primeiro u(0,0)=3\cdot0+4\cdot0\cdot0=0. E \operatorname{sec} 0=1,\\ \tan 0=0. Assim \tan^2 0+\operatorname{sec}^2 0 = 0+1=1. Logo
f_{xx}(0,0)=(3+4\cdot0)^2\cdot 1\cdot 1 = 3^2 = 9.

Passo 5

Calculo f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y).
Lembre que f_y=4x\,\operatorname{sec}(u)\,\tan(u). Ao derivar em y, o fator 4x é constante (em relação a y), então
f_{yy}=4x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big).
Usando o mesmo raciocínio do passo anterior, com u_y=4x, obtemos
f_{yy}=4x\cdot \operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)\cdot u_y =4x\cdot \operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)\cdot 4x.
Portanto
f_{yy}=16x^2\,\operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big).
Avalio em (0,0): como x=0, necessariamente
f_{yy}(0,0)=16\cdot 0^2\cdot\operatorname{sec}(0)\cdot 1 = 0.

Passo 6

Calculo f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Lembre f_x=(3+4y)\,\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).
Derivando em y, uso a regra do produto entre (3+4y) e \operatorname{sec}(u)\tan(u):
f_{xy}=4\cdot\operatorname{sec}(u)\tan(u) + (3+4y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big).
Novamente, \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big) =\operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)\cdot u_y e u_y=4x. Logo
f_{xy}=4\operatorname{sec}(u)\tan(u) + (3+4y)\, \operatorname{sec}(u)\big(\tan^2 u+\operatorname{sec}^2 u\big)\cdot 4x.
Avalio em (0,0): u(0,0)=0, \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0, e x=0,y=0. Assim o primeiro termo é 4\cdot 1\cdot 0=0. O segundo termo contém um fator 4x com x=0, então também é zero. Portanto
f_{xy}(0,0)=0.
Por regularidade da função (as derivadas usadas são contínuas próximas do ponto), vale f_{yx}(0,0)=f_{xy}(0,0)=0.

Resposta

f_{xx}(0,0)=9
f_{yy}(0,0)=0
f_{xy}(0,0)=0

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