Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos pontos pedidos.
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
no ponto
. Ou seja, preciso encontrar
(onde
é a derivada parcial de
em relação a
).
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde avaliaremos as segundas derivadas é
.
Passo 2
Relembrando regras úteis (aula rápida, calma que eu explico devagar):
- Se
, então para derivar em relação a usamos a regra da cadeia:
- Derivadas trigonométricas básicas (em notação
):
- Produto e cadeia combinam: se tiver produto de funções de
, use a regra do produto e dentro use cadeia quando aparecer . - Identidade trigonométrica útil:
. Vou usar também a forma quando necessário, mas não é essencial aqui — basta avaliar no ponto onde e .
Passo 3
Defino a função interna
Então
.
Calculo as primeiras derivadas parciais (aplicando regra da cadeia).
Para :
Para
Como
, fica
Para
:
Como
, fica
Passo 4
Agora calculo
.
Temos . Ao derivar em
, o fator
é constante (em relação a
), então:
Temos
Aplicando regra da cadeia para derivar
em relação a
: primeiro derivamos em relação a
, depois multiplicamos por
. Derivada em relação a
:
(isto vem da regra do produto:
). Então
Substituindo
,
Avalio em
. Primeiro
. E
. Assim
. Logo
Passo 5
Calculo
.
Lembre que . Ao derivar em
, o fator
é constante (em relação a
), então
Lembre que
Usando o mesmo raciocínio do passo anterior, com
, obtemos
Portanto
Avalio em
: como
, necessariamente
Passo 6
Calculo
. Lembre
.
Derivando em , uso a regra do produto entre
e
:
Derivando em
Novamente,
e
. Logo
Avalio em
:
,
,
, e
. Assim o primeiro termo é
. O segundo termo contém um fator
com
, então também é zero. Portanto
Por regularidade da função (as derivadas usadas são contínuas próximas do ponto), vale
.