Calcule a diferencial das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=e^{6 x^{2} y-25 x y},(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial da função f(x,y)=e^{6x^{2}y-25xy} no ponto (-1,2).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{6x^{2}y-25xy}.
  • O ponto onde queremos a diferencial é (-1,2).

Passo 2

O que é a diferencial que vamos calcular?
A diferencial total de f em um ponto (x_0,y_0) é a 1-forma linear
\mathrm{d}f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,\mathrm{d}y,
ou, visto como aplicação linear em incrementos (h,k),
\mathrm{d}f_{(x_0,y_0)}(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,k.
Portanto precisamos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e avaliá‑las em (-1,2).

Passo 3

Para derivar, é conveniente escrever a função como composição exponencial:
f(x,y)=e^{g(x,y)},\qquad g(x,y)=6x^{2}y-25xy.
Regra importante (cadeia): se f(x,y)=e^{g(x,y)}, então
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
Isto vem de que a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, e então multiplica‑se pela derivada de u=g(x,y) pelas regras da cadeia.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Escrevendo g(x,y)=y(6x^{2}-25x), vemos que, tratando y como constante ao derivar em relação a x,
\frac{\partial g}{\partial x}=y\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{2}-25x) = y\cdot(12x-25).
Ao derivar em relação a y, tratando x como constante,
\frac{\partial g}{\partial y}=6x^{2}-25x.

Passo 5

Agora as derivadas parciais de f seguem da regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot y(12x-25), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot(6x^{2}-25x).

Passo 6

Avaliando em (-1,2). Primeiro calcule g(-1,2):
6x^{2}-25x\\ \text{em}\\ x=-1 \Rightarrow 6\cdot(-1)^{2}-25\cdot(-1)=6+25=31.
Logo
g(-1,2)=y\cdot(6x^{2}-25x)=2\cdot 31=62,
e portanto e^{g(-1,2)}=e^{62}.
Calcule as parciais numéricas:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=e^{62}\cdot 2\cdot(12\cdot(-1)-25) = e^{62}\cdot 2\cdot(-12-25) = e^{62}\cdot 2\cdot(-37) = -74\,e^{62},
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=e^{62}\cdot(6\cdot(-1)^{2}-25\cdot(-1)) = e^{62}\cdot 31 =31\,e^{62}.

Passo 7

Finalmente escrevemos a diferencial total em (-1,2):
\mathrm{d}f(-1,2) = -74\,e^{62}\,\mathrm{d}x + 31\,e^{62}\,\mathrm{d}y.
Se preferir a forma como aplicação linear em (h,k):
\mathrm{d}f_{(-1,2)}(h,k) = -74\,e^{62}\,h + 31\,e^{62}\,k.

Resposta

\mathrm{d}f(-1,2) = -74\,e^{62}\,\mathrm{d}x + 31\,e^{62}\,\mathrm{d}y

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