Calcule a diferencial das funções nos pontos pedidos.
Passo 1
O enunciado pede a diferencial da função
no ponto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a diferencial é
.
Passo 2
O que é a diferencial que vamos calcular?
A diferencial total de em um ponto
é a 1-forma linear
A diferencial total de
ou, visto como aplicação linear em incrementos
,
Portanto precisamos calcular as derivadas parciais
e
e avaliá‑las em
.
Passo 3
Para derivar, é conveniente escrever a função como composição exponencial:
Regra importante (cadeia): se
, então
Isto vem de que a derivada de
em relação a
é
, e então multiplica‑se pela derivada de
pelas regras da cadeia.
Passo 4
Calculemos
e
.
Escrevendo , vemos que, tratando
como constante ao derivar em relação a
,
Escrevendo
Ao derivar em relação a
, tratando
como constante,
Passo 5
Agora as derivadas parciais de
seguem da regra da cadeia:
Passo 6
Avaliando em
. Primeiro calcule
:
Logo
e portanto
.
Calcule as parciais numéricas:
Passo 7
Finalmente escrevemos a diferencial total em
:
Se preferir a forma como aplicação linear em
: