Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos pontos pedidos.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto indicado. As informações fornecidas são:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar é
.
As derivadas de segunda ordem que vamos obter são, e (e verificaremos que ).
Passo 2
Relembrando regras básicas úteis (modo amigável):
- Derivada parcial em relação a
: trata-se como constante. Para termos do tipo vale a regra da potência: . - Derivada parcial em relação a
: trata-se como constante; mesma regra da potência vale para . - Para fatores multiplicativos constantes, puxam-se para fora da derivada.
- Termos com expoentes negativos obedecem à mesma regra da potência (por exemplo
).
Vou aplicar essas regras termo a termo, com calma.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
, isto é
.
A função é soma de dois termos; derivamos cada um em relação a :
A função é soma de dois termos; derivamos cada um em relação a
- Para
: é constante ao derivar em , então
- Para
: é constante, então
Somando,
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
, isto é
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- Para
: é constante ao derivar em , então
- Para
: é constante, então
Somando,
Passo 5
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Definições e observação prática:
-
, ou seja derivar em relação a . -
. -
e . Se for suficientemente suave (o que é aqui, exceto nas linhas onde ou ), vale (teorema de Clairaut). Vou calcular explicitamente , e e confirmar .
Passo 6
Calcular
.
Partimos de . Derivando em relação a
:
Partimos de
- Para
: é constante, então
- Para
: constante, .
Somando,
Passo 7
Calcular
.
Partimos de . Derivando em relação a
:
Partimos de
- Para
: é constante, então
- Para
: não depende de , logo derivada zero.
Portanto
Passo 8
Calcular
e verificar
.
Usando e derivando em relação a
:
Usando
- Para
: é constante em , então
- Para
: derivada em é .
Somando,
Agora calculamos
a partir de
para confirmar:
A partir de , derivando em
:
A partir de
- Para
: . - Para
: derivada em é .
Logo
confirmando
.
Passo 9
Agora avaliar todas essas derivadas no ponto
. Primeiro calculemos as potências de
e
em
:
-
implica . -
implica
Usaremos esses valores nas fórmulas já obtidas.
Passo 10
Substituindo em cada fórmula e calculando passo a passo.
Para
:
Calcule:
logo
Para
:
Calcule:
logo
Para
:
Calcule:
logo
E já confirmamos que
também.