Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos pontos pedidos.
f(x, y)=16 x^{-7} y^{-3}+6 x^{2} y,(x, y)=(1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto indicado. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x,y)=16x^{-7}y^{-3}+6x^{2}y.
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y)=(1,-2).
    As derivadas de segunda ordem que vamos obter são f_{xx}, f_{yy} e f_{xy} (e verificaremos que f_{xy}=f_{yx}).

Passo 2

Relembrando regras básicas úteis (modo amigável):
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se y como constante. Para termos do tipo x^{n} vale a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada parcial em relação a y: trata-se x como constante; mesma regra da potência vale para y^{m}.
  • Para fatores multiplicativos constantes, puxam-se para fora da derivada.
  • Termos com expoentes negativos obedecem à mesma regra da potência (por exemplo \dfrac{d}{dx}x^{-7}=-7x^{-8}).
    Vou aplicar essas regras termo a termo, com calma.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x, isto é f_{x}.
A função é soma de dois termos; derivamos cada um em relação a x:
  • Para 16x^{-7}y^{-3}: y^{-3} é constante ao derivar em x, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(16x^{-7}y^{-3}\big)=16y^{-3}\cdot\frac{d}{dx}x^{-7}=16y^{-3}\cdot(-7)x^{-8}=-112x^{-8}y^{-3}.
  • Para 6x^{2}y: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(6x^{2}y\big)=6y\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=6y\cdot 2x=12xy.
Somando,
f_{x}=-112x^{-8}y^{-3}+12xy.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y, isto é f_{y}.
Derivando termo a termo:
  • Para 16x^{-7}y^{-3}: x^{-7} é constante ao derivar em y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(16x^{-7}y^{-3}\big)=16x^{-7}\cdot\frac{d}{dy}y^{-3}=16x^{-7}\cdot(-3)y^{-4}=-48x^{-7}y^{-4}.
  • Para 6x^{2}y: x^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(6x^{2}y\big)=6x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=6x^{2}.
Somando,
f_{y}=-48x^{-7}y^{-4}+6x^{2}.

Passo 5

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Definições e observação prática:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(f_{x}\big), ou seja derivar f_{x} em relação a x.
  • f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(f_{y}\big).
  • f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(f_{x}\big) e f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(f_{y}\big). Se f for suficientemente suave (o que é aqui, exceto nas linhas onde x=0 ou y=0), vale f_{xy}=f_{yx} (teorema de Clairaut). Vou calcular explicitamente f_{xx}, f_{yy} e f_{xy} e confirmar f_{yx}.

Passo 6

Calcular f_{xx}.
Partimos de f_{x}=-112x^{-8}y^{-3}+12xy. Derivando em relação a x:
  • Para -112x^{-8}y^{-3}: y^{-3} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-112x^{-8}y^{-3}\big)=-112y^{-3}\cdot\frac{d}{dx}x^{-8}=-112y^{-3}\cdot(-8)x^{-9}=896x^{-9}y^{-3}.
  • Para 12xy: y constante, \dfrac{d}{dx}(12xy)=12y.
    Somando,
f_{xx}=896x^{-9}y^{-3}+12y.

Passo 7

Calcular f_{yy}.
Partimos de f_{y}=-48x^{-7}y^{-4}+6x^{2}. Derivando em relação a y:
  • Para -48x^{-7}y^{-4}: x^{-7} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-48x^{-7}y^{-4}\big)=-48x^{-7}\cdot\frac{d}{dy}y^{-4}=-48x^{-7}\cdot(-4)y^{-5}=192x^{-7}y^{-5}.
  • Para 6x^{2}: não depende de y, logo derivada zero.
    Portanto
f_{yy}=192x^{-7}y^{-5}.

Passo 8

Calcular f_{xy} e verificar f_{yx}.
Usando f_{x}=-112x^{-8}y^{-3}+12xy e derivando em relação a y:
  • Para -112x^{-8}y^{-3}: -112x^{-8} é constante em y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-112x^{-8}y^{-3}\big)=-112x^{-8}\cdot\frac{d}{dy}y^{-3}=-112x^{-8}\cdot(-3)y^{-4}=336x^{-8}y^{-4}.
  • Para 12xy: derivada em y é 12x.
    Somando,
f_{xy}=336x^{-8}y^{-4}+12x.
Agora calculamos f_{yx} a partir de f_{y} para confirmar:
A partir de f_{y}=-48x^{-7}y^{-4}+6x^{2}, derivando em x:
  • Para -48x^{-7}y^{-4}: -48y^{-4}\cdot\frac{d}{dx}x^{-7}= -48y^{-4}\cdot(-7)x^{-8}=336x^{-8}y^{-4}.
  • Para 6x^{2}: derivada em x é 12x.
    Logo
f_{yx}=336x^{-8}y^{-4}+12x,
confirmando f_{xy}=f_{yx}.

Passo 9

Agora avaliar todas essas derivadas no ponto (1,-2). Primeiro calculemos as potências de x e y em (1,-2):
  • x=1 implica x^{-7}=x^{-8}=x^{-9}=1.
  • y=-2 implica y^{-3}=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8},\qquad y^{-4}=(-2)^{-4}=\frac{1}{16},\qquad y^{-5}=(-2)^{-5}=-\frac{1}{32}.
Usaremos esses valores nas fórmulas já obtidas.

Passo 10

Substituindo em cada fórmula e calculando passo a passo.
Para f_{xx}(1,-2):
f_{xx}=896x^{-9}y^{-3}+12y \Rightarrow f_{xx}(1,-2)=896\cdot 1\cdot\Big(-\frac{1}{8}\Big)+12\cdot(-2).
Calcule:
896\cdot\Big(-\frac{1}{8}\Big)=-112,\qquad 12\cdot(-2)=-24,
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f_{xx}(1,-2)=-112-24=-136.
Para f_{yy}(1,-2):
f_{yy}=192x^{-7}y^{-5}\Rightarrow f_{yy}(1,-2)=192\cdot 1\cdot\Big(-\frac{1}{32}\Big).
Calcule:
192\cdot\Big(-\frac{1}{32}\Big)=-\frac{192}{32}=-6,
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f_{yy}(1,-2)=-6.
Para f_{xy}(1,-2):
f_{xy}=336x^{-8}y^{-4}+12x\Rightarrow f_{xy}(1,-2)=336\cdot 1\cdot\frac{1}{16}+12\cdot 1.
Calcule:
336\cdot\frac{1}{16}=\frac{336}{16}=21,\qquad 12\cdot 1=12,
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f_{xy}(1,-2)=21+12=33.
E já confirmamos que f_{yx}(1,-2)=33 também.

Resposta

f_{xx}(1,-2)=-136
f_{yy}(1,-2)=-6
f_{xy}(1,-2)=f_{yx}(1,-2)=33

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