Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
(a)
z=x^{3} y-2 x^{2} y^{2}+5 x y-2 x
(b)
z=\operatorname{arctg}\left(x^{2}-2 x y\right)
(c)
z=e^{x^{2}+y^{2}}
(d)
w=x^{2} y^{3} z^{4}
(e)
w=\cos (x+y+z)
(f)
w=x^{3} y^{2} z+2(x+y+z)

Passo 1

Temos seis funções em duas ou três variáveis e o objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda e de terceira ordem. Para cada função vamos:
  1. Identificar as variáveis independentes.
  2. Usar as regras de derivação (derivada de potência, produto, cadeia, soma).
  3. Encontrar todas as segundas parciais \frac{\partial^2}{\partial u\partial v} e, em seguida, as terceiras parciais \frac{\partial^3}{\partial u\partial v\partial w}, onde u,v,w percorrem as variáveis da função.
A estratégia geral é: a) calcular primeiro as derivadas de primeira ordem, b) delas obter as de segunda, c) finalmente derivar estas de segunda para obter as de terceira ordem.

Passo 2

Função (a):
z = x^{3}y \;-\; 2x^{2}y^{2} \;+\;5xy \;-\;2x,
variáveis x,y.
Derivadas de primeira ordem:
z_{x} = \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2}y \;-\;4xy^{2}\;+\;5y\;-\;2,
z_{y} = \frac{\partial z}{\partial y} = x^{3}\;-\;4x^{2}y\;+\;5x.

Passo 3

Segundas derivadas de (a):
z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(z_x) = 6xy \;-\;4y^{2},
z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_x) = 3x^{2} \;-\;8xy \;+\;5,
z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_y) = -4x^{2}.

Passo 4

Terceiras derivadas de (a):
z_{xxx} = \frac{\partial}{\partial x}(z_{xx}) = 6y,
z_{xxy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_{xx}) = 6x \;-\;8y,
z_{xyy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_{xy}) = -8x,
z_{yyy} = \frac{\partial}{\partial y}(z_{yy}) = 0.

Passo 5

Função (b):
z = \arctan\bigl(x^{2} - 2xy\bigr),
variáveis x,y. Defina u = x^{2}-2xy. Então
z_{x} = \frac{2x-2y}{1+u^{2}}, \quad z_{y} = \frac{-2x}{1+u^{2}}.

Passo 6

Segundas derivadas de (b) (usando D=1+u^{2}):
z_{xx} = \frac{2\,D \;-\;(2x-2y)\,2u\,(2x-2y)}{D^{2}} = \frac{2+2u^{2}-8u\,(x-y)^{2}}{D^{2}},
z_{xy} = \frac{-2\,D \;-\;(2x-2y)\,2u\,(-2x)}{D^{2}} = \frac{-2-2u^{2}+8u\,x(x-y)}{D^{2}},
z_{yy} = \frac{-(-2x)\,2u\,(-2x)}{D^{2}} = \frac{-8u\,x^{2}}{D^{2}}.

Passo 7

Terceiras derivadas de (b):
Para obter z_{xxx},z_{xxy},z_{xyy},z_{yyy} aplicamos derivação em cadeia às expressões de z_{xx},z_{xy},z_{yy}. Por exemplo:
z_{xxx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2+2u^{2}-8u(x-y)^{2}}{D^{2}}\Bigr),
e de modo análogo para z_{xxy},z_{xyy},z_{yyy}. O aluno deve aplicar o quociente e a regra da cadeia por u.

Passo 8

Função (c):
z = e^{\,x^{2}+y^{2}},
variáveis x,y.
Primeiro:
z_{x} = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}}, \quad z_{y} = 2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 9

Segundas derivadas de (c):
z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = \bigl(2 +4x^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}},
z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = 4xy\,e^{x^{2}+y^{2}},
z_{yy} = \bigl(2 +4y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 10

Terceiras derivadas de (c):
z_{xxx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl((2+4x^{2})e^{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = \bigl(12x +8x^{3}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}},
z_{xxy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl((2+4x^{2})e^{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = 8x y\,\bigl(1+ x^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}},
z_{xyy} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl((2+4y^{2})e^{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = 8x y\,\bigl(1+ y^{2}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}},
z_{yyy} = \bigl(12y +8y^{3}\bigr)e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 11

Função (d):
w = x^{2}y^{3}z^{4},
variáveis x,y,z.
Primeiro encontro das derivadas de primeira ordem por produto:
w_{x} = 2x\,y^{3}z^{4},\quad w_{y} = 3x^{2}y^{2}z^{4},\quad w_{z} = 4x^{2}y^{3}z^{3}.

Passo 12

Segundas derivadas de (d):
w_{xx} = 2\,y^{3}z^{4},\quad w_{xy} = 6x\,y^{2}z^{4},\quad w_{xz} = 8x\,y^{3}z^{3},
w_{yy} = 6x^{2}y\,z^{4},\quad w_{yz} = 12x^{2}y^{2}z^{3},\quad w_{zz} = 12x^{2}y^{3}z^{2}.

Passo 13

Terceiras derivadas de (d): derivar cada segunda em relação às três variáveis. Por exemplo,
w_{xxx} = 0,\quad w_{xxy} = 6\,y^{2}z^{4},\quad w_{xxz} = 8\,y^{3}z^{3},
w_{xyy} = 12x\,y\,z^{4},\quad w_{xyz} = 24x\,y^{2}z^{3},\quad w_{xzz} = 24x\,y^{3}z^{2},
w_{yyy} = 6x^{2}z^{4},\quad w_{yyz} = 24x^{2}y\,z^{3},\quad w_{yzz} = 36x^{2}y^{2}z^{2},\quad w_{zzz} = 24x^{2}y^{3}z.

Passo 14

Função (e):
w = \cos(x+y+z),
variáveis x,y,z.
Primeiro:
w_{x} = -\sin(x+y+z),\quad w_{y} = -\sin(x+y+z),\quad w_{z} = -\sin(x+y+z).

Passo 15

Segundas derivadas de (e): todas iguais pois \sin deriva para \cos:
w_{xx} = -\cos(x+y+z),\quad w_{xy} = -\cos(x+y+z),\quad w_{xz} = -\cos(x+y+z),
w_{yy} = -\cos(x+y+z),\quad w_{yz} = -\cos(x+y+z),\quad w_{zz} = -\cos(x+y+z).

Passo 16

Terceiras derivadas de (e): todas iguais pois \cos deriva para -\sin:
w_{xxx} = \sin(x+y+z),\quad w_{xxy} = \sin(x+y+z),\quad w_{xxz} = \sin(x+y+z),
w_{xyy} = \sin(x+y+z),\quad w_{xyz} = \sin(x+y+z),\quad w_{xzz} = \sin(x+y+z),
w_{yyy} = \sin(x+y+z),\quad w_{yyz} = \sin(x+y+z),\quad w_{yzz} = \sin(x+y+z),\quad w_{zzz} = \sin(x+y+z).

Passo 17

Função (f):
w = x^{3}y^{2}z \;+\;2(x+y+z),
variáveis x,y,z.
Primeiro:
w_{x} = 3x^{2}y^{2}z \;+\;2,\quad w_{y} = 2x^{3}y\,z \;+\;2,\quad w_{z} = x^{3}y^{2} \;+\;2.

Passo 18

Segundas derivadas de (f):
w_{xx} = 6xy^{2}z,\quad w_{xy} = 6x^{2}yz,\quad w_{xz} = 3x^{2}y^{2},
w_{yy} = 2x^{3}z,\quad w_{yz} = 2x^{3}y,\quad w_{zz} = 0.

Passo 19

Terceiras derivadas de (f):
w_{xxx} = 6y^{2}z,\quad w_{xxy} = 12xyz,\quad w_{xxz} = 6xy^{2},
w_{xyy} = 6x^{2}z,\quad w_{xyz} = 6x^{2}y,\quad w_{xzz} = 0,
w_{yyy} = 0,\quad w_{yyz} = 2x^{3},\quad w_{yzz} = 0,\quad w_{zzz} = 0.

Resposta

Derivadas de segunda e terceira ordem para cada item conforme calculado nos passos acima.

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