Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(c)
(f)
Passo 1
Temos seis funções em duas ou três variáveis e o objetivo é calcular todas as derivadas parciais de segunda e de terceira ordem. Para cada função vamos:
- Identificar as variáveis independentes.
- Usar as regras de derivação (derivada de potência, produto, cadeia, soma).
- Encontrar todas as segundas parciais
e, em seguida, as terceiras parciais , onde percorrem as variáveis da função.
A estratégia geral é: a) calcular primeiro as derivadas de primeira ordem, b) delas obter as de segunda, c) finalmente derivar estas de segunda para obter as de terceira ordem.
Passo 2
Função (a):
variáveis
.
Derivadas de primeira ordem:
Passo 3
Segundas derivadas de (a):
Passo 4
Terceiras derivadas de (a):
Passo 5
Função (b):
variáveis
. Defina
. Então
Passo 6
Segundas derivadas de (b) (usando
):
Passo 7
Terceiras derivadas de (b):
Para obter aplicamos derivação em cadeia às expressões de
. Por exemplo:
Para obter
e de modo análogo para
. O aluno deve aplicar o quociente e a regra da cadeia por
.
Passo 8
Função (c):
variáveis
.
Primeiro:
Passo 9
Segundas derivadas de (c):
Passo 10
Terceiras derivadas de (c):
Passo 11
Função (d):
variáveis
.
Primeiro encontro das derivadas de primeira ordem por produto:
Passo 12
Segundas derivadas de (d):
Passo 13
Terceiras derivadas de (d): derivar cada segunda em relação às três variáveis. Por exemplo,
Passo 14
Função (e):
variáveis
.
Primeiro:
Passo 15
Segundas derivadas de (e): todas iguais pois
deriva para
:
Passo 16
Terceiras derivadas de (e): todas iguais pois
deriva para
:
Passo 17
Função (f):
variáveis
.
Primeiro:
Passo 18
Segundas derivadas de (f):
Passo 19
Terceiras derivadas de (f):
Resposta
Derivadas de segunda e terceira ordem para cada item conforme calculado nos passos acima.