Calcule, aproximadamente:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede aproximações de seis expressões envolvendo pequenas variações em torno de valores exatos, usando técnicas de expansão em série (aproximação binomial ou de Taylor de pequena ordem). Para isso usaremos:
- Para raízes ou potências próximas de 1:
quando . - Para produtos
e pequenos termos de ordem superior podem ser desprezados ou incluídos se necessário. - Para cosseno próximo de múltiplos ímpares de
:
Passo 2
(a) Temos
Calculemos primeiro a soma dentro da raiz:
Somando,
Logo
. Como
,
Passo 3
(b) Queremos
Primeiro
. Multiplicando por
:
Passo 4
(c) Definimos
-
. Como ,
- Multiplicando por
:
- Para o cosseno,
- Portanto
Passo 5
(d) Seja
Calcule
. Então
Aproximando
, tem-se
Passo 6
(e) Seja
Calculamos
, logo
Escrevendo
,
Multiplicando por
:
Passo 7
(f) Finalmente
- Note
, assim
- Multiplicando por
:
- Para o cosseno,
- Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)