Calcule as derivadas parcials das funçōes a seguir.
f(x, y)=\left(5 x^{2} y^{3}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y) = \bigl(5x^{2}y^{3}\bigr)^{3}.
O conteúdo aqui é derivada parcial em funções de duas variáveis, usando a regra da potência e tratando cada variável como constante na vez da outra.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f usando propriedades de expoentes:
f(x,y)=\bigl(5x^{2}y^{3}\bigr)^{3} =5^{3}\,(x^{2})^{3}\,(y^{3})^{3} =125\,x^{6}\,y^{9}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra da potência em x^{6}:
\frac{\partial f}{\partial x} =125\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)\,y^{9} =125\cdot(6x^{5})\,y^{9} =750\,x^{5}\,y^{9}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra da potência em y^{9}:
\frac{\partial f}{\partial y} =125\,x^{6}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{9}\bigr) =125\,x^{6}\cdot(9y^{8}) =1125\,x^{6}\,y^{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=750\,x^{5}\,y^{9} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=1125\,x^{6}\,y^{8}

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