Calcule as derivadas parcials das funçōes a seguir.
z=\operatorname{sen}\left(3 x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = \operatorname{sen}\bigl(3x^{2}y\bigr).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia em derivadas parciais: como z=\operatorname{sen}(u) com u=3x^{2}y, precisamos calcular \partial z/\partial x e \partial z/\partial y usando \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u)
e as derivadas parciais de u.

Passo 2

Definindo u=3x^{2}y, a derivada parcial de u em relação a x é
\frac{\partial u}{\partial x} =3\cdot 2x\cdot y =6xy.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =\cos\bigl(3x^{2}y\bigr)\cdot 6xy =6xy\cos\bigl(3x^{2}y\bigr).

Passo 3

Agora, a derivada parcial de u em relação a y é
\frac{\partial u}{\partial y} =3x^{2}\cdot 1 =3x^{2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} =\cos\bigl(3x^{2}y\bigr)\cdot 3x^{2} =3x^{2}\cos\bigl(3x^{2}y\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=6xy\cos\bigl(3x^{2}y\bigr) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=3x^{2}\cos\bigl(3x^{2}y\bigr)

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