Calcule as derivadas parcials das funçōes a seguir.
Calcule as derivadas parciais das funçōes a seguir nos pontos dados.
f(x, y)=\sqrt{6 x y} nos pontos x=2 e y=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=\sqrt{6xy}
em (x,y)=(2,3). O conteúdo envolvido é derivada parcial de função de duas variáveis e vamos usar a regra da cadeia e a derivação de potência.

Passo 2

Escrevendo
f(x,y)=(6xy)^{\tfrac12},
temos, pela regra da cadeia e derivação de potência:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac12\,(6xy)^{-\tfrac12}\cdot6y =\frac{6y}{2\sqrt{6xy}} =\frac{3y}{\sqrt{6xy}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac12\,(6xy)^{-\tfrac12}\cdot6x =\frac{6x}{2\sqrt{6xy}} =\frac{3x}{\sqrt{6xy}}.

Passo 3

No ponto (2,3) temos \sqrt{6\cdot2\cdot3}=\sqrt{36}=6. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(2,3) =\frac{3\cdot3}{6} =\frac{9}{6} =\frac32,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,3) =\frac{3\cdot2}{6} =\frac{6}{6} =1.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(2,3)=\frac32, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,3)=1.

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