Ache a área da superfície de revolução obtida pela rotação da parábola x=y^{2} de x=0 até x=3, em torno do eixo x.
\left(A=\frac{\pi}{6}\left(13^{3 / 2}-1\right) \text { u.a. }\right)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao rotacionar a parábola x=y^{2} no trecho de x=0 até x=3 em torno do eixo x.
O conteúdo é o cálculo de área de superfície de revolução de uma curva dada explicitamente por y=y(x). Para isso precisamos usar a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx
e saber expressar y em função de x, calcular y' e integrar.

Passo 2

Da equação x=y^{2} isolamos a rama superior como função de x:
y = \sqrt{x},\qquad x\in[0,3].
Calculamos a derivada:
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Substituímos na integranda:
\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} = \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}}.
Logo
y\,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}} = \sqrt{x}\,\frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2}.

Passo 4

A área de revolução fica
S = 2\pi \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{4x + 1}}{2}\;dx = \pi \int_{0}^{3} \sqrt{4x + 1}\;dx.
Fazemos a troca de variável u = 4x + 1, du = 4\,dx, então dx = \tfrac{du}{4}. Quando x=0, u=1; quando x=3, u=13. Assim
S = \pi \int_{u=1}^{13} \sqrt{u}\;\frac{du}{4} = \frac{\pi}{4}\,\int_{1}^{13} u^{1/2}\;du.

Passo 5

Integramos:
\int u^{1/2}\;du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
S = \frac{\pi}{4}\;\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{13} = \frac{\pi}{6}\Bigl(13^{3/2} - 1^{3/2}\Bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(13^{3/2} - 1\bigr).

Resposta

\boxed{S = \frac{\pi}{6}\bigl(13^{3/2}-1\bigr)\text{ u.a.}}

Exercícios relacionados