Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Então: queremos encontrar uma expressão para a derivada
em termos de
.
Passo 2
Identificar a estrutura da função e as “funções internas” envolvidas. Aqui temos uma composição de três níveis:
- a função interna mais interna
; - a função média
(o seno aplicado a ); - a função externa
(elevar ao expoente ).
Em notação compacta:
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (aula rápida e prática):
- Regra do poder (para função composta): se
, então . Aplicada a uma composição , temos . - Derivada do seno: para uma variável
, . Para composição, . - Regra da cadeia (cadeia de composições): derivada da composição é produto das derivadas das camadas avaliadas apropriadamente.
Exemplo rápido (mini-exercício ilustrativo): se
, então
aplicando poder → seno → derivada do interior
.
Passo 4
Calcular a derivada da função interna
passo a passo, usando a regra da soma e a regra do poder:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do poder e em seguida a derivada do seno e por fim multiplicar por
(regra da cadeia em sequência).
Primeiro, derive
com
:
Agora derive
:
Juntando as duas partes:
Passo 6
Substituir
e
na expressão obtida:
Pode-se escrever de forma mais compacta como