Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\operatorname{sen}^{7}\left(x^{8}+3 x^{2}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\operatorname{sen}^{7}\!\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr).
Então: queremos encontrar uma expressão para a derivada f^{\prime}(x) em termos de x.

Passo 2

Identificar a estrutura da função e as “funções internas” envolvidas. Aqui temos uma composição de três níveis:
  • a função interna mais interna u(x)=x^{8}+3x^{2}+x;
  • a função média v(u)=\operatorname{sen}(u) (o seno aplicado a u);
  • a função externa w(v)=v^{7} (elevar ao expoente 7).
Em notação compacta:
f(x)=w\bigl(v(u(x))\bigr) = \bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)^{7}.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Regra do poder (para função composta): se w(v)=v^{n}, então w'(v)=n\,v^{\,n-1}. Aplicada a uma composição w(v(x)), temos \dfrac{d}{dx}v(x)^{n} = n\,v(x)^{\,n-1}\cdot v'(x).
  • Derivada do seno: para uma variável t, \dfrac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sen} t\bigr)=\cos t. Para composição, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
  • Regra da cadeia (cadeia de composições): derivada da composição é produto das derivadas das camadas avaliadas apropriadamente.
Exemplo rápido (mini-exercício ilustrativo): se g(x)=\sin^{3}(x^{2}), então
g'(x)=3\sin^{2}(x^{2})\cdot\cos(x^{2})\cdot 2x,
aplicando poder → seno → derivada do interior x^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada da função interna u(x)=x^{8}+3x^{2}+x passo a passo, usando a regra da soma e a regra do poder:
  • \dfrac{d}{dx}x^{8}=8x^{7}.
  • \dfrac{d}{dx}3x^{2}=3\cdot 2x=6x.
  • \dfrac{d}{dx}x=1.
Portanto
u'(x)=8x^{7}+6x+1.

Passo 5

Aplicar a regra do poder e em seguida a derivada do seno e por fim multiplicar por u'(x) (regra da cadeia em sequência).
Primeiro, derive w(v)=v^{7} com v=\operatorname{sen}(u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)^{7} =7\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)^{6}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr).
Agora derive \operatorname{sen}(u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Juntando as duas partes:
f'(x)=7\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)^{6}\cdot \cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 6

Substituir u(x)=x^{8}+3x^{2}+x e u'(x)=8x^{7}+6x+1 na expressão obtida:
f'(x)=7\bigl(\operatorname{sen}\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr)\bigr)^{6}\cdot \cos\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr)\cdot\bigl(8x^{7}+6x+1\bigr).
Pode-se escrever de forma mais compacta como
f'(x)=7\bigl(8x^{7}+6x+1\bigr)\,\operatorname{sen}^{6}\!\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr)\,\cos\!\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr).

Resposta

f'(x)=7\bigl(8x^{7}+6x+1\bigr)\,\operatorname{sen}^{6}\!\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr)\,\cos\!\bigl(x^{8}+3x^{2}+x\bigr).

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