Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas:
- A função é a composição de três partes: uma potência de expoente
, a função cosseno e o polinômio . - O objetivo é encontrar a derivada em relação a
, ou seja, .
Passo 2
Conceitos que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Regra da cadeia (caso geral): se
com função de e número, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
.
- Derivada do cosseno: se
, então
Ou seja, differentiate o cosseno como
e multiplica pela derivada da parte interna
.
- Derivada do polinômio simples: para
,
Explicando em palavras: para compostos de três níveis como aqui (potência ← cosseno ← polinômio) aplicamos a regra da cadeia repetidamente, do nível mais externo para o mais interno.
Passo 3
Identificar as funções internas para aplicar a cadeia passo a passo.
- Seja
. Então . - Seja
. - Então
.
Agora aplicamos a primeira aplicação da regra da cadeia (a partir da potência).
Pela regra da cadeia para potência:
Passo 4
Precisamos de
. Como
, aplicamos a regra da derivada do cosseno:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Agora juntamos os resultados: substituindo
e
em
temos
Organizando o sinal e os fatores:
Passo 6
Dica rápida para a prova: escreva sempre a composição em níveis (ex.: exterior = potência, meio = cosseno, interior = polinômio). Derive cada nível e multiplique em sequência. Não esqueça do sinal negativo vindo da derivada do cosseno.