Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\cos ^{5}\left(x^{2}+3 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\cos^{5}\!\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
Informações dadas:
  • A função é a composição de três partes: uma potência de expoente 5, a função cosseno e o polinômio x^{2}+3x+2.
  • O objetivo é encontrar a derivada em relação a x, ou seja, f'(x).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Regra da cadeia (caso geral): se \;h(x)=(u(x))^{n}\; com u função de x e n número, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • Derivada do cosseno: se \;v(x)=\cos\bigl(w(x)\bigr)\;, então
v'(x)=-\sin\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x).
Ou seja, differentiate o cosseno como -\sin e multiplica pela derivada da parte interna w(x).
  • Derivada do polinômio simples: para \;g(x)=x^{2}+3x+2\;,
g'(x)=2x+3.
Explicando em palavras: para compostos de três níveis como aqui (potência ← cosseno ← polinômio) aplicamos a regra da cadeia repetidamente, do nível mais externo para o mais interno.

Passo 3

Identificar as funções internas para aplicar a cadeia passo a passo.
  • Seja g(x)=x^{2}+3x+2. Então g'(x)=2x+3.
  • Seja u(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
  • Então f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{5}.
Agora aplicamos a primeira aplicação da regra da cadeia (a partir da potência).
Pela regra da cadeia para potência:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{5}\bigr)=5\,u(x)^{4}\,u'(x).

Passo 4

Precisamos de u'(x). Como u(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr), aplicamos a regra da derivada do cosseno:
u'(x)=-\sin\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Substituindo g'(x)=2x+3 obtemos
u'(x)=-\sin\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\,(2x+3).

Passo 5

Agora juntamos os resultados: substituindo u(x) e u'(x) em \dfrac{d}{dx}\bigl(u(x)^{5}\bigr)=5\,u(x)^{4}\,u'(x) temos
f'(x)=5\bigl(\cos\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\bigr)^{4}\cdot\biggl[-\sin\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\,(2x+3)\biggr].
Organizando o sinal e os fatores:
f'(x)=-5(2x+3)\cos^{4}\!\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\sin\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).

Passo 6

Dica rápida para a prova: escreva sempre a composição em níveis (ex.: exterior = potência, meio = cosseno, interior = polinômio). Derive cada nível e multiplique em sequência. Não esqueça do sinal negativo vindo da derivada do cosseno.

Resposta

-5(2x+3)\cos^{4}\!\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\sin\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)

Exercícios relacionados