Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\tan ^{3}\left(x^{7}+2 x\right) e^{\operatorname{sen}^{2}\left(3 x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\tan^{3}\!\bigl(x^{7}+2x\bigr)\;e^{\sin^{2}\!\bigl(3x^{2}+1\bigr)}.
Informações dadas que vamos usar diretamente:
  • A função é produto de duas partes: uma parte trigonométrica elevada ao cubo e um exponencial.
  • Podemos definir internamente: g_{1}(x)=x^{7}+2x,\qquad g_{2}(x)=3x^{2}+1,de modo que f(x)=\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)^{3}\;e^{\sin^{2}(g_{2}(x))}.
O que se pede: calcular f^{\prime}(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as regras de derivação que vou aplicar (passo a passo e sem pular etapas):
  • Regra do produto: se \;f(x)=u(x)v(x)\; então
    f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Aqui u(x) e v(x) são as duas partes do produto.
  • Regra da cadeia (explicação): se h(x)=H\bigl(k(x)\bigr), a derivada é
    h'(x)=H'\bigl(k(x)\bigr)\,k'(x),
    ou seja, derivar a função externa H avaliada na interna k(x) e multiplicar pela derivada da interna k'(x).
  • Derivadas elementares que usarei:
    \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\tan t\bigr)=\operatorname{sec}^{2}t, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\sin^{2}t\bigr)=2\sin t\cos t.
    Observações úteis:
    • \operatorname{sec}^{2}t significa \bigl(\operatorname{sec} t\bigr)^{2} e é a derivada de \tan t.
    • A derivada de uma exponencial composta e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada de \text{algo} (regra da cadeia).
    • Para \sin^{2}t usei a regra da cadeia aplicada a t\mapsto t^{2} e a função \sin.

Passo 3

Identifico as partes para aplicar a regra do produto:
u(x)=\tan^{3}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)=\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)^{3}, \qquad v(x)=e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}.
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente, com calma.

Passo 4

Cálculo de u'(x). Faço isso em etapas claras:
  1. Começo por ver u(x)=h\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr) com h(t)=t^{3}. Então pela regra da cadeia:
u'(x)=h'\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr).
  1. Como h'(t)=3t^{2}, temos
h'\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)=3\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)^{2}=3\tan^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr).
  1. Agora \dfrac{d}{dx}\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr) usa cadeia novamente:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(g_{1}(x))\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\cdot g_{1}'(x).
  1. Derivada de g_{1}(x)=x^{7}+2x é
g_{1}'(x)=7x^{6}+2.
  1. Juntando tudo:
u'(x)=3\tan^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\cdot\bigl(7x^{6}+2\bigr).

Passo 5

Cálculo de v'(x). Também em etapas:
  1. v(x)=e^{\sin^{2}(g_{2}(x))}. A derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada de \text{algo}. Assim
v'(x)=e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}\!(g_{2}(x))\bigr).
  1. Derivando \sin^{2}(g_{2}(x)) pela regra da cadeia: se p(t)=\sin^{2}t então p'(t)=2\sin t\cos t. Aplicando à composição,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(g_{2}(x))\bigr)=2\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cdot g_{2}'(x).
  1. Derivada de g_{2}(x)=3x^{2}+1 é
g_{2}'(x)=6x.
  1. Substituindo:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(g_{2}(x))\bigr)=2\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cdot 6x=12x\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr).
  1. Portanto
v'(x)=e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\cdot 12x\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr).
Observação de simplificação útil: 2\sin t\cos t=\sin(2t), logo 12x\sin(g_{2})\cos(g_{2})=6x\sin\bigl(2g_{2}(x)\bigr). Posso usar essa forma depois se quiser compactar a expressão.

Passo 6

Agora junto tudo pela regra do produto:
\begin{aligned} f'(x) &=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)\\[4pt] &=\biggl[3\tan^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\bigl(7x^{6}+2\bigr)\biggr]\;e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\\[4pt] &\quad+\tan^{3}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\;\biggl[e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\;12x\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\biggr]. \end{aligned}
Posso fatorar e^{\sin^{2}\!(g_{2}(x))} que aparece em ambos os termos:
\begin{aligned} f'(x) &=e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\Bigl[\,3\bigl(7x^{6}+2\bigr)\tan^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\\[4pt] &\qquad\qquad\qquad+\,12x\tan^{3}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\sin\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\cos\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
Se preferir a forma com \sin(2g_{2}(x)) para compactar o segundo termo, use 12x\sin(g_{2})\cos(g_{2})=6x\sin\bigl(2g_{2}(x)\bigr). Assim outra forma equivalente é
f'(x)=e^{\sin^{2}\!\bigl(g_{2}(x)\bigr)}\Bigl[\,3\bigl(7x^{6}+2\bigr)\tan^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)+6x\tan^{3}\!\bigl(g_{1}(x)\bigr)\sin\!\bigl(2g_{2}(x)\bigr)\Bigr].]

Resposta

f'(x)=e^{\sin^{2}\!\bigl(3x^{2}+1\bigr)}\Bigl[\,3\bigl(7x^{6}+2\bigr)\tan^{2}\!\bigl(x^{7}+2x\bigr)\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(x^{7}+2x\bigr)+12x\tan^{3}\!\bigl(x^{7}+2x\bigr)\sin\!\bigl(3x^{2}+1\bigr)\cos\!\bigl(3x^{2}+1\bigr)\Bigr].

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