Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas que vamos usar diretamente:
- A função é produto de duas partes: uma parte trigonométrica elevada ao cubo e um exponencial.
- Podemos definir internamente:
de modo que
O que se pede: calcular
, a derivada em relação a
.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as regras de derivação que vou aplicar (passo a passo e sem pular etapas):
-
Regra do produto: se
então Aquie são as duas partes do produto. -
Regra da cadeia (explicação): se
, a derivada é ou seja, derivar a função externaavaliada na interna e multiplicar pela derivada da interna . -
Derivadas elementares que usarei:Observações úteis:
-
significa e é a derivada de . - A derivada de uma exponencial composta
é vezes a derivada de (regra da cadeia). - Para
usei a regra da cadeia aplicada a e a função .
-
Passo 3
Identifico as partes para aplicar a regra do produto:
Pela regra do produto:
Agora vamos calcular
e
separadamente, com calma.
Passo 4
Cálculo de
. Faço isso em etapas claras:
- Começo por ver
com . Então pela regra da cadeia:
- Como
, temos
- Agora
usa cadeia novamente:
- Derivada de
é
- Juntando tudo:
Passo 5
Cálculo de
. Também em etapas:
-
. A derivada de é vezes a derivada de . Assim
- Derivando
pela regra da cadeia: se então . Aplicando à composição,
- Derivada de
é
- Substituindo:
- Portanto
Observação de simplificação útil:
, logo
. Posso usar essa forma depois se quiser compactar a expressão.
Passo 6
Agora junto tudo pela regra do produto:
Posso fatorar
que aparece em ambos os termos:
Se preferir a forma com
para compactar o segundo termo, use
. Assim outra forma equivalente é