Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é uma razão entre duas funções: numerador
e denominador . - O denominador
nunca se anula, porque implica . Logo o domínio de é todo . - A tarefa é encontrar
para .
Passo 2
Vamos organizar a expressão escrevendo o numerador e o denominador como funções separadas. Defino
Então
É uma boa prática identificar
e
antes de aplicar a regra de derivação apropriada — isso deixa os cálculos mais limpos e evita erros.
Passo 3
Usarei a regra do quociente. Vou explicar direitinho essa regra para você poder usar na prova sem medo.
Regra do quociente (explicação):
- Se
com e diferenciáveis e , então
- Uma maneira rápida de obter essa fórmula é reescrever
como e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia:
Essa fórmula é essencial quando se deriva uma fração; o numerador é “derivada do topo vezes o fundo menos topo vezes derivada do fundo” e o denominador é o quadrado do fundo.
Passo 4
Agora calculemos
e
. Lembretes das derivadas básicas usadas:
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando:
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente com esses resultados:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar cuidadosamente o numerador, passo a passo:
Primeiro expandir os termos:
Primeiro expandir os termos:
Somando:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, o numerador fica
Portanto chegamos a uma forma simplificada para a derivada:
Passo 7
Podemos escrever o numerador de forma fatorada se preferir:
Assim, uma forma final compacta é
válida para todo
(pois
sempre).