Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x+5}{\cos x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x+5}{\cos x+5}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é uma razão entre duas funções: numerador \operatorname{sen} x+5 e denominador \cos x+5.
  • O denominador \cos x+5 nunca se anula, porque \cos x\in[-1,1] implica \cos x+5\in[4,6]. Logo o domínio de f é todo \mathbb{R}.
  • A tarefa é encontrar f'(x) para x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos organizar a expressão escrevendo o numerador e o denominador como funções separadas. Defino
u(x)=\operatorname{sen} x+5,\qquad v(x)=\cos x+5.
Então
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
É uma boa prática identificar u e v antes de aplicar a regra de derivação apropriada — isso deixa os cálculos mais limpos e evita erros.

Passo 3

Usarei a regra do quociente. Vou explicar direitinho essa regra para você poder usar na prova sem medo.
Regra do quociente (explicação):
  • Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
  • Uma maneira rápida de obter essa fórmula é reescrever f como f(x)=u(x)\cdot [v(x)]^{-1} e aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v^{-1}\big)=u'\,v^{-1}+u\cdot(-1)v^{-2}v'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Essa fórmula é essencial quando se deriva uma fração; o numerador é “derivada do topo vezes o fundo menos topo vezes derivada do fundo” e o denominador é o quadrado do fundo.

Passo 4

Agora calculemos u'(x) e v'(x). Lembretes das derivadas básicas usadas:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
  • A derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.
Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x+5\big)=\cos x + 0=\cos x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x+5\big)=-\operatorname{sen} x + 0=-\operatorname{sen} x.

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente com esses resultados:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{\cos x\big(\cos x+5\big)-\big(\operatorname{sen} x+5\big)\big(-\operatorname{sen} x\big)}{\big(\cos x+5\big)^{2}}.

Passo 6

Vamos expandir e simplificar cuidadosamente o numerador, passo a passo:
Primeiro expandir os termos:
\cos x\big(\cos x+5\big)=\cos^{2}x+5\cos x,
-\big(\operatorname{sen} x+5\big)\big(-\operatorname{sen} x\big)=+(\operatorname{sen} x+5)\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}^{2}x+5\operatorname{sen} x.
Somando:
\cos^{2}x+5\cos x+\operatorname{sen}^{2}x+5\operatorname{sen} x.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, o numerador fica
1+5\cos x+5\operatorname{sen} x.
Portanto chegamos a uma forma simplificada para a derivada:
f'(x)=\frac{1+5\cos x+5\operatorname{sen} x}{\big(\cos x+5\big)^{2}}.

Passo 7

Podemos escrever o numerador de forma fatorada se preferir:
1+5\cos x+5\operatorname{sen} x = 1 + 5\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big).
Assim, uma forma final compacta é
f'(x)=\frac{1+5\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)}{\big(\cos x+5\big)^{2}},
válida para todo x\in\mathbb{R} (pois \cos x+5\neq0 sempre).

Resposta

f'(x)=\frac{1+5\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)}{\big(\cos x+5\big)^{2}}

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