Calcule as derivadas
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A função é uma potência de uma razão entre duas funções trigonométricas deslocadas.
- Precisa-se encontrar a derivada
em termos de . - Não há valores numéricos a substituir; a resposta deve ser a expressão simbólica da derivada.
Passo 2
Ideia do método (fórmulas que vou usar) — aqui explico bem devagarinho as regras que aplicarei.
- Regra da cadeia para uma composição do tipo
. Se
então a derivada é
Explicação: a regra da cadeia diz que primeiro derivamos a potência externa
, que dá
, e depois multiplicamos pelo
(a derivada da parte interna).
- Regra do quociente para
. Se
então
Explicação: é a fórmula padrão do quociente — lembra como se faz na prova: deriva o numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Vou aplicar primeiro a regra da cadeia com
e depois dentro dela aplicar a regra do quociente para
.
Passo 3
Defino as funções auxiliares e calculo suas derivadas elementares.
Definir
então
Derivadas das partes simples:
porque a derivada de
é
e a de constante é zero.
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Aplico a regra do quociente para obter
.
Usando
substituo
:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Uso a identidade trigonométrica
. Assim o numerador fica
Portanto
Passo 5
Aplico a regra da cadeia à função original
.
Pela regra da cadeia,
Substituo
e o
que obtive:
Agora combino as potências do denominador
e
para simplificar a expressão final:
Se quiser, pode deixar também na forma factorizada intermediária mostrada antes; ambas são equivalentes.