Calcule as derivadas f^{\prime}(x), onde
f(x)=\left(\frac{\operatorname{sen} x+5}{\cos x+5}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\left(\frac{\operatorname{sen} x+5}{\cos x+5}\right)^{5}.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A função é uma potência de uma razão entre duas funções trigonométricas deslocadas.
  • Precisa-se encontrar a derivada f'(x) em termos de x.
  • Não há valores numéricos a substituir; a resposta deve ser a expressão simbólica da derivada.

Passo 2

Ideia do método (fórmulas que vou usar) — aqui explico bem devagarinho as regras que aplicarei.
  1. Regra da cadeia para uma composição do tipo (u(x))^{5}. Se
f(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{5},
então a derivada é
f'(x) = 5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\,u'(x).
Explicação: a regra da cadeia diz que primeiro derivamos a potência externa t\mapsto t^{5}, que dá 5t^{4}, e depois multiplicamos pelo u'(x) (a derivada da parte interna).
  1. Regra do quociente para u(x)/v(x). Se
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.
Explicação: é a fórmula padrão do quociente — lembra como se faz na prova: deriva o numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Vou aplicar primeiro a regra da cadeia com u(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x+5}{\cos x+5} e depois dentro dela aplicar a regra do quociente para u'(x).

Passo 3

Defino as funções auxiliares e calculo suas derivadas elementares.
Definir
u(x)=\operatorname{sen} x+5,\qquad v(x)=\cos x+5,
então
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.
Derivadas das partes simples:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x+5\bigr)=\cos x,
porque a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x e a de constante é zero.
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos x+5\bigr)=-\operatorname{sen} x,
porque a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplico a regra do quociente para obter g'(x).
Usando
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}},
substituo u,u',v,v':
g'(x)=\frac{\cos x\bigl(\cos x+5\bigr)-\bigl(\operatorname{sen} x+5\bigr)\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr)}{\bigl(\cos x+5\bigr)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
\cos x(\cos x+5) - (\operatorname{sen} x+5)(- \operatorname{sen} x) = \cos^{2}x +5\cos x + \operatorname{sen}^{2}x +5\operatorname{sen}x.
Uso a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1. Assim o numerador fica
1 + 5\cos x + 5\operatorname{sen}x = 1 + 5\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr).
Portanto
g'(x)=\frac{1 + 5\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr)}{\bigl(\cos x+5\bigr)^{2}}.

Passo 5

Aplico a regra da cadeia à função original f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{5}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=5\bigl(g(x)\bigr)^{4}\,g'(x).
Substituo g(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x+5}{\cos x+5} e o g'(x) que obtive:
f'(x)=5\left(\frac{\operatorname{sen}x+5}{\cos x+5}\right)^{4} \cdot \frac{1 + 5\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr)}{\bigl(\cos x+5\bigr)^{2}}.
Agora combino as potências do denominador (\cos x+5)^{4} e (\cos x+5)^{2} para simplificar a expressão final:
f'(x)=\frac{5\bigl(\operatorname{sen}x+5\bigr)^{4}\,\bigl(1 + 5(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr)}{\bigl(\cos x+5\bigr)^{6}}.
Se quiser, pode deixar também na forma factorizada intermediária mostrada antes; ambas são equivalentes.

Resposta

f'(x)=\frac{5\bigl(\operatorname{sen}x+5\bigr)^{4}\,\bigl(1+5(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr)}{\bigl(\cos x+5\bigr)^{6}}

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