Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo:
y=(\operatorname{sen} x+2 x)\left(\cos x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
y = \bigl(\sin x + 2x\bigr)\bigl(\cos x - x^2\bigr).
O conteúdo aqui é a regra do produto e as derivadas básicas de \sin x, \cos x e de uma função polinomial.

Passo 2

Definimos
u(x) = \sin x + 2x \quad\text{e}\quad v(x) = \cos x - x^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr) = \cos x + 2,
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr) = -\sin x - 2x.

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 5

Substituindo u, v, u' e v':
y' = (\cos x + 2)\,(\cos x - x^2) + (\sin x + 2x)\,(-\sin x - 2x).

Passo 6

Expandindo e agrupando termos:
\begin{aligned} y' &= \cos^2 x - x^2\cos x + 2\cos x - 2x^2 - \sin^2 x - 4x\sin x - 4x^2\\\ &= (\cos^2 x - \sin^2 x) - x^2\cos x + 2\cos x - 4x\sin x - (2x^2 + 4x^2)\\\ &= \cos(2x) - x^2\cos x + 2\cos x - 4x\sin x - 6x^2. \end{aligned}

Resposta

y' = \cos(2x) \;-\; x^2\cos x \;+\; 2\cos x \;-\; 4x\sin x \;-\; 6x^2.

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