2- -Para a função
determine (
Pontos):
a) Pontos Críticos
b) Concavidade e Ponto de Inflexão
c) Classificar os pontos Críticos
d) Esboçar o Gráfico da função
a) Pontos Críticos
b) Concavidade e Ponto de Inflexão
c) Classificar os pontos Críticos
d) Esboçar o Gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) pontos críticos;
b) concavidade e ponto de inflexão;
c) classificação dos pontos críticos;
d) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo de derivadas primeira e segunda, análise de monotonia, concavidade e classificação de extremos.
a) pontos críticos;
b) concavidade e ponto de inflexão;
c) classificação dos pontos críticos;
d) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo de derivadas primeira e segunda, análise de monotonia, concavidade e classificação de extremos.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira usando o produto:
Igualando
vem
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora a derivada segunda:
A concavidade é dada pelo sinal de
:
-
se , isto é, para : a função é côncava para baixo. -
se , isto é, para : a função é côncava para cima.
O ponto de inflexão ocorre quando, ou seja, em .
Passo 4
Para classificar o ponto crítico
usamos
:
portanto em
a concavidade é para baixo e há um máximo local.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico sabendo:
- Limites:
e . - Intercepto em
: . - Monotonia: cresce até
, depois decresce. - Máximo local em
. - Ponto de inflexão em
, onde troca de côncavo para baixo para côncavo para cima.
O esboço começa em, sobe, cruza a origem, atinge pico em , desce passando pelo inflexão em e tende a zero por cima.
Resposta
(a) O único ponto crítico é
.
(b) A concavidade é para baixo em e para cima em
; ponto de inflexão em
.
(c) Em há um máximo local.
(d) O gráfico parte de , sobe passando por
, alcança máximo em
, inflexão em
e decresce para
.
(b) A concavidade é para baixo em
(c) Em
(d) O gráfico parte de