2- -Para a função f(x)=x . e^{-2 x} determine ( \mathbf{2 , 0} Pontos):
a) Pontos Críticos
b) Concavidade e Ponto de Inflexão
c) Classificar os pontos Críticos
d) Esboçar o Gráfico da função

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x\,e^{-2x}
e pede:
a) pontos críticos;
b) concavidade e ponto de inflexão;
c) classificação dos pontos críticos;
d) esboço do gráfico.
O conteúdo é cálculo de derivadas primeira e segunda, análise de monotonia, concavidade e classificação de extremos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira usando o produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{-2x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) =1\cdot e^{-2x}+x\cdot(-2)e^{-2x} =e^{-2x}(1-2x).
Igualando f'(x)=0 vem
e^{-2x}(1-2x)=0 \quad\Longrightarrow\quad1-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Logo o único ponto crítico é x=\tfrac12.

Passo 3

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{-2x}(1-2x)\bigr] =e^{-2x}(-2)(1-2x)+e^{-2x}(-2) =e^{-2x}\bigl[-2(1-2x)-2\bigr] =e^{-2x}(4x-4) =4\,e^{-2x}(x-1).
A concavidade é dada pelo sinal de f''(x):
  • f''(x)<0 se x-1<0, isto é, para x<1: a função é côncava para baixo.
  • f''(x)>0 se x-1>0, isto é, para x>1: a função é côncava para cima.
    O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0, ou seja, em x=1.

Passo 4

Para classificar o ponto crítico x=\tfrac12 usamos f''\bigl(\tfrac12\bigr):
f''\bigl(\tfrac12\bigr) =4\,e^{-1}\bigl(\tfrac12-1\bigr) =4\,e^{-1}\,(-\tfrac12) <0,
portanto em x=\tfrac12 a concavidade é para baixo e há um máximo local.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico sabendo:
  1. Limites: \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+.
  2. Intercepto em x=0: f(0)=0.
  3. Monotonia: cresce até x=\tfrac12, depois decresce.
  4. Máximo local em \bigl(\tfrac12,\tfrac12e^{-1}\bigr).
  5. Ponto de inflexão em \bigl(1,e^{-2}\bigr), onde troca de côncavo para baixo para côncavo para cima.
    O esboço começa em -\infty, sobe, cruza a origem, atinge pico em x=\tfrac12, desce passando pelo inflexão em x=1 e tende a zero por cima.

Resposta

(a) O único ponto crítico é x=\tfrac12.
(b) A concavidade é para baixo em x<1 e para cima em x>1; ponto de inflexão em x=1.
(c) Em x=\tfrac12 há um máximo local.
(d) O gráfico parte de -\infty, sobe passando por (0,0), alcança máximo em \bigl(\tfrac12,\tfrac12e^{-1}\bigr), inflexão em \bigl(1,e^{-2}\bigr) e decresce para 0^+.

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