Calcule as derivadas de primeira ordem abaixo:
y=\ln (\tan 3 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de primeira ordem da função
y = \ln\bigl(\tan(3x)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada duas vezes: uma vez para a derivada de \ln(u) e outra para a derivada de \tan(v).

Passo 2

Começamos lembrando que, se
y = \ln\bigl(u(x)\bigr),
então
y' = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Aqui temos u(x) = \tan(3x). Para achar u'(x), usamos de novo a regra da cadeia: se u = \tan(v) com v = 3x, então
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(v)\bigr) = \operatorname{sec}^2(v)\,v'
e como v' = 3, obtemos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\tan(3x)\bigr) = \operatorname{sec}^2(3x)\cdot 3 = 3\,\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Agora substituímos na fórmula de y':
y' = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{3\,\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)}.
Podemos deixar assim ou simplificar lembrando que \tan = \frac{\operatorname{sen}}{\cos} e \operatorname{sec} = \frac1{\cos}:
y' = \frac{3\,(1/\cos^2(3x))}{\operatorname{sen}(3x)/\cos(3x)} = \frac{3}{\operatorname{sen}(3x)\,\cos(3x)} = 3\,\csc(3x)\,\operatorname{sec}(3x).

Resposta

y' = \frac{3\,\operatorname{sec}^2(3x)}{\tan(3x)} \quad\text{ou}\quad y' = \frac{3}{\operatorname{sen}(3x)\,\cos(3x)} \quad\text{(equivalente).}

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